Самостоятельная работа

Г.                            Алгебра 9-А,Б,В

Тема урока «Размещения. Сочетания. Самостоятельная работа»

 

В рабочую тетрадь записать число, классная работа, тему урока и опорный конспект с примерами решения задач.

 

Размещения

Мы встретились со случаем, где нужно выбрать из n элементов любые k и расставить их на k мест. Такие комбинации называются размещениями из n элементов по k и обозначатся .

Итак, размещением из n элементов по k (k≤n) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов.

Размещения отличаются друг от друга как составом элементов, выбранных в комбинацию, так и их расположением.

Выведем формулу подсчёта числа размещений:

Как и для перестановок количество размещений можно найти по правилу умножения: на первое место ставим любой из n имеющихся элементов, на 2-ое – любой из (n-1) оставшихся элементов и т.д. пока не заполнятся все k мест, т.е.

^;

Пример 1. Учащиеся 2 класса изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета?

Решение: Любое расписание на один день, составленное из 4 различных предметов, отличается от другого либо набором предметов, либо порядком их следования. Значит, в этом примере речь идет о размещениях из 9 элементов по 4. Имеем . Итак, мы нашли, что расписание можно составить 3024 способами.

   №757. Сколькими способами тренер может определить, кто из 12 спортсменок, готовых к участию в эстафете 4x100 м, побежит на первом, вто­ром, третьем и четвертом этапах?

Решение.

Выбор из 12 по 4 с учетом порядка:

 способов.

Ответ: 11880 способов

 №762 Сколько четырехзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр: а) 1, 3, 5, 7, 9; б) 0, 2, 4, 6, 8?

Решение.

а) Выбираем 4 цифры из 5 данных; порядок выбора имеет значение:

чисел.

б) Выбираем 4 цифры из 5, но на первое место нельзя выбирать нуль.

Используем метод исключения лишних элементов: если на первое место выбран ноль, то после этого выбираем еще на 3 места цифры из 4 оставшихся, получаем  «нулевых» комбинаций, которые недопустимы.

Количество четырехзначных чисел, которые можно составить изданных 5 чисел, равно:

 чисел.

Можно рассуждать, непосредственно используя правило про­изведения: первый выбор - 4 варианта, второй выбор - 4 варианта (включая нуль), третий выбор - 3 варианта, четвертый выбор - 2 варианта. Всего 4*4*3*2= 96 чисел.

Ответ: а) 120 чисел; б) 96 чисел.

Сочетания

Мы встретились со случаем, когда в комбинации порядок расположения элементов не важен. Такой тип комбинаций называется сочетанием из n элементов по k и обозначается С .

Итак, сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов (без учета их порядка в комбинации), выбранных из данных n элементов.

Чтобы найти общее количество сочетаний будем рассуждать так: чем отличаются друг от друга размещения? Составом выбранных элементов и их порядком. Чем отличаются друг от друга сочетания? Только составом, т.е. каждому сочетанию соответствует ровно k! размещений с тем же составом, поэтому, чтобы найти количество сочетаний, надо поделить количество размещений А на k! При подсчёте размещений мы считали каждое сочетание k! раз.

Следовательно, С ; С

Пример1. Из набора, состоящего из 15 красок, надо выбрать 3 краски для окрашивания шкатулки. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

Решение: Каждый выбор трех красок отличается от другого хотя бы одной краской. Значит, здесь речь идет о сочетаниях из 15 элементов по 3. Имеем

. Следовательно, 3 краски можно выбрать 455 способами.

Пример 2. В классе учатся 12 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории около школы требуется выделить трех мальчиков и двух девочек. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Выбрать трех мальчиков из 12 можно способами, а двух девочек из 10 можно выбрать  способами. Сделать выбор учащихся можно

=  способами. Выбор учащихся можно сделать 9900 способами.

№769 В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

Решение.

Выбор из 8 по 3 без учета порядка:

 56 способов.

Ответ: 56 способов.

  №772 Из лаборатории, в которой работают заведующий и 10 сотрудников, надо отправить 5 человек в командировку. Сколькими способами это можно сделать, если:

а) заведующий лабораторией должен ехать в командировку?

Решение.

Из 11 человек 5 должны поехать в командировку.

а) Заведующий едет, нужно выбрать еще 4 из 10 оставшихся:

 = 210 способов.

Ответ: а) 210 способов.

№774 Бригада, занимающаяся ремонтом школы, состоит из 12 маляров и 5 плотников. Из них для ремонта физкультурного зала надо выделить 4 маляра и 2 плотника. Сколькими способами можно это сделать?

Решение.

Выбрать 4 маляра из 12 можно  способами, а 2 плотников из 5 -  способами. Так как при каждом выборе маляра можно выбрать плотника  способами, то сделать выбор рабочих, о котором говориться в задаче можно *  способами.

Имеем * =  способов.

Ответ:  способов

           

 

 

Самостоятельная работа

1) В танцевальном кружке лучше всех танцуют 4 девочки: Аня, Ира, Оля, Яна и                  3 мальчика: Боря, Юра, Гриша. На конкурс отправляют одну танцевальную пару. Сколько существует вариантов? (решить задачу двумя способами: графически и с помощью формулы)

2) Сколькими способами 5 человек могут стать в очередь к билетной кассе?

3) В чемпионате по футболу участвуют 16 команд. Сколькими способами могут распределяться 3 призовых места?

4) В классе 7 человек успешно занимаются матема­тикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для уча­стия в математической олимпиаде?

 Домашнее задание №755, 759, 763, 760в, 771, 772б, 775.  

 

Самостоятельную работу решить в тетради, сфотографировать или отсканировать и переслать на почту irinaboyarko@gmail.com 31.03.2020 до 15.00. Самостоятельная работа является обязательной. За неё в журнал всем ставится оценка. Домашнее задание высылать не нужно. Я проверю, когда выйдем на занятия.