Тема: Решение показательных неравенств.
Задание: Разобрать примеры решения простейших показательных неравенств, записать примеры в тетрадь, решить неравенства из блока «Решить самостоятельно»
Показательными неравенствами называют неравенства вида af(x)>ag(x) ,
где a — положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.
Неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции:
- для возрастающей функции большему значению функции соответствует большее значение аргумента;
- для убывающей функции большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.
Показательная функция y=ax возрастает при a>1
и убывает при 0<a<1.
Показательное неравенство af(x)>ag(x) равносильно неравенству того же смысла f(x)>g(x), если a>1.
Пример:
решить неравенства: 22x−4>64.
Имеем 22x−4>26.
Это неравенство равносильно неравенству того же смысла 2x−4>6, т. к. основание равно 2>1 ( a>1 ),
откуда находим x>5.
Показательное неравенство af(x)>ag(x) равносильно неравенству противоположного смысла f(x)<g(x), если 0<a<1.
Примеры решения простейших показательных неравенств
Пример 1. Решите неравенство:
1)
Решение:
Т.к. y=6t – возрастающая, т.к. 6>0, перейдем к равносильному неравенству:
x2+2x>3
x2+2x-3>0
Ответ:
Пример 2. Решить неравенство:
2)
Решение:
|
Ответ: х ≤ -1/12
Пример 3. Решите неравенство:
,
Решение:
,
,
,
, (знак неравенства поменяли на противоположный)
(знак неравенства меняем, если делим или умножаем обе части неравенства на отрицательное число)
.
Ответ:
Решить самостоятельно (начинайте с № 40.30 и далее по порядку)
Если возникнут трудности, смотрите примеры
Пример №1. Решить неравенство:
Правило: привести к одинаковому основанию.
Так как основание больше 1, знак неравенства не меняется
Ответ:
Пример №2. Решить неравенство:
Так как основание больше 1, знак неравенства не меняется
Ответ:
Пример №3. Решить неравенство:
Так как основание меньше 1, знак неравенства меняется
Ответ:
Пример №4. Решить неравенство:
Вспоминаем свойства показательной функции: , значит, Данное неравенство не имеет решений.
Пример №5. Решить неравенство:
По аналогии с предыдущим неравенством: (а, значит, ) для всех из области определения, то есть .