Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела

Определим кинетический момент твердого тела относительно оси его

вращения (оси z), рассмотрев движение точки

Mi массой

mi,

принадлежащей телу и движущейся в плоскости перпендикулярной оси z

на расстоянии ri

(рисунок 6.3).

Момент количества движения точки Mi

относительно оси z будет равен:

Liz = miuiri.

Так как ui = wri, то

L = m wr 2.

iz      i i

Тогда кинетический момент определится:

K   = å L   = å mwr 2  = w å m r 2  = J w.

Рисунок 6.3

z            iz              i i                    i  i       z

Производная от кинетического момента по времени будет равна:

dKz

=   d

(J w) = J

dw.

dt dt

z            z dt

С учетом уравнения (6.5) получим:

J dw   = å M

(Pe )

 

или

J e = å M

(Pe ).            (6.6)

z  dt        z  i

z                  z  i

Произведение момента инерции твердого тела относительно оси вращения на производную по времени от угловой скорости его вращения равно сумме моментов всех внешних сил, действующих на тело, относительно той же оси.

Из выражения (6.6) видно, что момент инерции во вращательном движении играет ту же роль, что и масса тела при поступательном движении, т.е. является мерой инертности тела.

 

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

Рисунок 7.1