2020-05-12
558
Под потоком событий в теории вероятностей понимают последовательность событий, которые происходят одна за другой в некоторые моменты времени. Примерами могут быть: потоки вызовов на телефонную станцию, потоки включения устройств в бытовой электросети, потоки информации, приходящие на сервер и т. д. События, образующие поток, в общем случае могут быть разными, но мы будем рассматривать только однородные события, которые отличаются только моментами появления. Такой поток можно изобразить как последовательность точек 
на числовой оси рис.4, которые соответствуют моментам появления событий.
 [1
|
| 0 |
| t |
|
Рис.4
Поток событий называется регулярным, если события наступают одно за другим через строго определенные промежутки времени. Такой поток очень редко встречается в реальных системах, но является интересным как граничный случай. Типовым для СМО является случайный поток заявок.
Рассмотрим потоки событий, которые имеют некоторые свойства. Для этого введем ряд определений.
|
|
|
1. Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания того или иного числа событий на отрезке времени длиной 
(Рис.4) зависит только от длины отрезка и не зависит от того, где именно на оси 
расположен этот отрезок.
2. Поток событий называется потоком без последствия, если для любых непересекающихся отрезков времени число событий, которые попали на один из них, не зависит от числа событий, которые попадают на другие.
3. Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный отрезок 
двух или более событий бесконечно мала в сравнении с вероятностью попадания одного события.
Если поток событий имеет все три свойства (стационарность, ординарность, отсутствие последействия), то он называется простым (или стационарным пуассоновским) потоком. Название «пуассоновский» связано с тем, что при выполнении условий 1-3 число событий, которые попадают на любой фиксированный интервал времени, будет распределено по закону Пуассона.
Рассмотрим детально условия 1-3.
1. Условие стационарности выполняется для потока заявок, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. Стационарный поток характеризуется постоянной плотностью (средним числом заявок в единицу времени). На практике часто встречаются потоки заявок, которые (по крайней мере, на ограниченном отрезке) можно рассматривать как стационарные. Например, поток вызовов на городской телефонной станции на отрезке времени от 12 до 13 часов может считаться стационарным. Тот же поток на протяжении суток уже не может считаться стационарным.
Все физические процессы, которые мы называем стационарными, в действительности являются стационарными лишь на ограниченном отрезке времени, а распространение этого отрезка до бесконечности лишь удобный приём, который применяется с целью упрощения.
|
|
|
2. Условие отсутствия последствия – означает, что заявки поступают в систему независимо одна от другой. Например, поток пассажиров, входящих на станцию метро, можно считать потоком без последействия потому, что причины, которые обусловили приход отдельного пассажира именно в тот, а не в другой момент, как правило, не связаны с аналогичными причинами для других пассажиров. Однако условие отсутствия последствия может быть легко нарушено за счет появления такой зависимости. Например, поток пассажиров, покидающих станцию метро, уже не может считаться потоком без последствия, так как моменты выхода пассажиров, которые прибыли одним и тем же поездом, зависимы между собой.
Следует заметить, что выходной поток (или поток заявок, которые обслужены), покидающий СМО, обычно имеет последействие, даже если входной поток его не имеет.
Следствия, присущие выходному потоку, необходимо учитывать,если этот поток является входным для любой другой СМО (так называемое «многофазовое обслуживание», когда одна и та же заявка последовательно переходит из системы в систему).
3. Условие ординарности означает, что заявки приходят по одной, а не парами, тройками и т.д. Например, поток атак по цели в зоне действия истребителей, будет ординарным, если истребители атакуют цель по одному, и не будет ординарным, если истребители идут в атаку парами.
Рассмотрим на оси 
простейший поток 
(рис.5) как неограниченную последовательность случайных точек.
| Т |
|
| 0 |
|
Рис.5
Выделим произвольный интервал времени длиной 
. Известно, что при условиях ординарности, стационарности и отсутствия последствия число точек, которые попали на интервал 
, распределено по закону Пуассона с математическим ожиданием
(3),
где 
– плотность потока (среднее число событий, що приходящихся на единицу времени).
Вероятность того, что за время произойдет точно 
событий, равна
(4)
В частности, вероятность того, что интервал окажется пустым (не произойдет ни одного события), определяется
(5)
Важной характеристикой потока является закон распределения длины промежутка между соседними событиями (Т)
, 
(6).
Продифференцировав (6), найдем плотность распределения
, (7)
|
|
|
Рис.6
Закон распределения с плотностью распределения (7) называется экспоненциальным законом, а величина – его параметром. График плотности изображен на рис.6.
Экспоненциальный закон играет большую роль в теории дискретных случайных процессов с непрерывным временем. Поэтому рассмотрим его детально.
Найдем математическое ожидание величины Т, распределенной по экспоненциальному закону:
Или проинтегрировав по частям, получим
(8)
Дисперсия величины Т равна:
.
Откуда
(9),
(10)
Если промежуток времени, распределенный по экспоненциальному закону, уже продолжается некоторое время 
, то это не влияет на закон распределения оставшейся части промежутка: он будет таким же, как и закон распределения всего промежутка Т.
|
|
|
