Приведём другое решение

Вариант № 24592967

Задание 1 № 367638

Для станций, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на схеме. Заполните таблицу, в ответ запишите последовательность четырёх цифр.

Станции	Кировская	Летняя	Балтийская	Нарвская
Цифры

На рисунке изображена схема метро города N. Станция Кировская Синей ветки расположена между станциями Яблочная и Заводская. Если ехать по кольцевой линии (она имеет форму окружности), то можно последовательно попасть на станции Яблочная, Восточная, Летняя, Площадь победы, Морская. Красная ветка включает в себя станции Балтийская, Банковская, Морская, Восточная и Нарвская.

Решение.

Станция Кировская расположена между станциями Яблочная и Заводская, значит, Кировская отмечена цифрой 3. Если ехать по кольцевой линии (она имеет форму окружности), то можно последовательно попасть на станции Яблочная, Восточная, Летняя, Площадь победы, Морская, следовательно, Летняя отмечена цифрой 2. Красная ветка включает в себя станции Балтийская, Банковская, Морская, Восточная и Нарвская, поэтому Балтийская отмечена цифрой 5, а Нарвская отмечена цифрой 1.

Ответ: 3251.

Задание 2 № 367639

Бригада меняет рельсы на участке между станциями Восточная и Нарвская протяжённостью 16,2 км. Работы начались в понедельник. Каждый рабочий день бригада меняла по 600 метров рельсов. По субботам и воскресеньям замена рельсов не осуществлялась, но проезд был закрыт до конца всего ремонта. Сколько дней был закрыт проезд между указанными станциями?

Решение.

Заметим, что станция Нарвская отмечена на схеме цифрой 1. Поскольку бригада меняла по 600 метров рельсов в день, на замену рельс на всём участке ушло дней. Поскольку работы велись только с понедельника по пятницам, на замену рельс на данном участке ушло недель, следовательно, необходимо учитывать 5 · 2 = 10 выходных дней. Значит, проезд между указанными станциями был закрыт дней.

Ответ: 37.

Задание 3 № 367640

Территория, находящаяся внутри кольцевой линии, называется Кировским городским районом. Найдите его площадь S (в км²), если длина кольцевой ветки равна 70 км. В ответе укажите значение выражения S · π.

Решение.

Сначала найдём радиус окружности:

Теперь найдём площадь:

Таким образом, получаем ответ:

Ответ: 1225.

Задание 4 № 367641

Найдите расстояние (в км) между станциями Яблочная и Кировская, если длина Синей ветки равна 48 км, расстояние от Площади победы до Кировской равно 28 км, а от Заводской до Яблочной — 27 км. Все расстояния даны по железной дороге.

Решение.

Расстояние от Кировской до Заводской равняется

км. Расстояние от Площади победы до Яблочной равняется км. Значит, расстояние между станциями Яблочная и Кировская равно км.

Ответ: 7.

Задание 5 № 367642

Школьник Артём в среднем в месяц совершает 45 поездок в метро. Для оплаты поездок можно покупать различные карточки. Стоимость одной поездки для разных видов карточек различна. По истечении месяца Артём уедет из города и неиспользованные карточки обнуляются. Во сколько рублей обойдётся самый дешёвый вариант?

Количество поездок	Стоимость карточки (руб.)	Дополнительные условия
1	80	школьникам скидка 15%
10	740	школьникам скидка 10%
30	2100	школьникам скидка 10%
50	3200	нет
Не ограничено	4000	нет

Решение.

Заметим, что последние два вида карточек можно не рассматривать. Сначала Артём должен купить карточку третьего вида, поскольку

Потом Артём должен купить карточку второго вида, поскольку

Дальше Артём должен купить пять карточек первого вида, поскольку

Таким образом, самый дешёвый вариант обойдётся в

Ответ: 2896.

Задание 6 № 341487

Найдите значение выражения

Решение.

Вычислим:

Ответ: 0,0000335.

Задание 7 № 205771

О числах и известно, что . Среди приведенных ниже неравенств выберите верные:

В ответе укажите номер правильного варианта.

4) Верно 1, 2 и 3

Решение.

Проверим все варианты ответа:

1) — неверно.

2) — неверно,

3) — верно.

Правильный ответ указан под номером 3.

Задание 8 № 317728

Масса Луны равна 7,35·10²² кг. Выразите массу Луны в млн тонн.

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 7,35⋅10¹⁰ млн т

2) 7,35⋅10¹³ млн т

3) 7,35⋅10¹⁶ млн т

4) 7,35⋅10¹⁹ млн т

Решение.

В одной тонне 10³ кг, 1 миллион — это 10⁶. Преобразуем представленное в условии число:

Правильный ответ указан под номером: 2.

Задание 9 № 338180

Уравнение имеет корни −6; 4. Найдите

Решение.

По теореме Виета

Ответ: −24.

Задание 10 № 149

На экзамене 25 билетов, Сергей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение.

Сергей выучил

25 − 3 = 22 вопроса. Поэтому вероятность того, что ему попадётся выученный билет равна

Ответ: 0,88.

Задание 11 № 339254

На рисунке изображены графики функций вида y = ax ² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a > 0, c < 0

Б) a < 0, c > 0

В) a > 0, c > 0

Графики

1)	2)
3)	4)

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

А	Б	В

Решение.

Если парабола задана уравнением , то: при то ветви параболы направлены вверх, а при — вниз. Значение c соответствует значению функции в точке x = 0. Следовательно, если график пересекает ось ординат выше оси абсцисс, то значение c положительно, если ниже оси абсцисс — отрицательно.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А — 1, Б — 3, В — 2.

Ответ: 132.

Задание 12 № 341203

Последовательность задана формулой Сколько членов в этой последовательности больше 6?

Решение.

Необходимо решить неравенство:

Поскольку n — целые числа, неравенство выполняется при n равном 1, 2, 3 и 4. Таким образом, четыре члена данной последовательности больше 6.

Ответ: 4.

Задание 13 № 338092

Найдите если

Решение.

Имеем:

Ответ: 4.

Задание 14 № 338296

Закон Менделеева-Клапейрона можно записать в виде PV = νRT, где P — давление (в паскалях), V — объём (в м³), ν — количество вещества (в молях), T — температура (в градусах Кельвина), а R — универсальная газовая постоянная, равная 8,31 Дж/(К⋅моль). Пользуясь этой формулой, найдите температуру T (в градусах Кельвина), если ν = 68,2 моль, P = 37 782,8 Па, V = 6 м³.

Решение.

Выразим температуру из закона Клапейрона-Менделеева: Подставляя, получаем:

Ответ: 400.

Задание 15 № 348461

Укажите решение системы неравенств:

Решение.

Решим систему:

Решением системы является вариант 2).

Ответ: 2.

Задание 16 № 311759

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 136°, угол CAD равен 82°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Углы и опираются на одну дугу следовательно, они равны. Найдём угол

Ответ: 54.

Задание 17 № 339438

Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 83°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол, образованный хордой и касательной равен половине дуги, которую он заключает, поэтому величина дуги MK равна 2 · 83° = 166°. Угол MOK — центральный, поэтому он равен величине дуги, на которую опирается. Значит, угол MOK равен 166°. В треугольнике OMK стороны OK и OM равны как радиусы окружности, поэтому треугольник OMK — равнобедренный, следовательно, углы при основании равны. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠ OKM = ∠ OMK = (180° − ∠ KOM)/2 = (180° − 166°)/2 = 7°.

Ответ: 7.

Приведём другое решение.

Найдём угол OKM: OKM = 90° − 83° = 7°. Треугольник OMK — равнобедренный, поэтому угол OMK равен углу OKM и равен 7°

Задание 18 № 169887

Найдите площадь кругового сектора, если радиус круга равен 3, а угол сектора равен 120°. В ответе укажите площадь, деленную на π.

Решение.

Площадь сектора равна:

Ответ: 3.

Задание 19 № 351332

Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение.

Проведем дополнительные построения. Угол - центральный и равен 135°. Угол опирается на ту же дугу, что и угол , но является вписанным, поэтому равен половине угла т.е. 67,5°.

Ответ: 67,5.

Задание 20 № 67

Укажите номера верных утверждений.

1) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

2) Вертикальные углы равны.

3) Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны» — верно по признаку подобия треугольников.

2) «Вертикальные углы равны» — верно, это теорема планиметрии.

3) «Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой» — неверно, это утверждение справедливо только для равностороннего треугольника.

Ответ: 12.

Задание 21 № 311237

Решите неравенство .

Решение.

1) Определим знак разности . Так как и , то .

2) Получаем неравенство . Отсюда .

Ответ: . Другая возможная форма ответа: .

Задание 22 № 338552

Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 18 км/ч. Через час после него со скоростью 16 км/ч из того же посёлка в том же направлении выехал второй велосипедист, а ещё через час — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 4 часа после этого догнал первого.

Решение.

Пусть скорость третьего велосипедиста равна v км/ч, а t ч— момент времени, когда он догнал второго велосипедиста. Начало отсчёта времени — момент, когда первый велосипедист начал движение. Тогда к моменту времени t, когда третий велосипедист догонит второго, второй велосипедист проедет расстояние км, а третий — расстояние км. Аналогично: к моменту времени когда третий велосипедист догонит первого, первый велосипедист проедет км, а третий, поскольку он был в пути на два часа меньше, проедет км. Составим систему уравнений:

Умножим первое уравнение на а второе — на и вычтем первое уравнение из второго:

По условию задачи подходит только положительный корень, то есть Подставляя t во второе уравнение, найдём искомую скорость:

Ответ: 24 км/ч.

Задание 23 № 314398

Парабола проходит через точки K (0; –5), L (3; 10), M (–3; –2). Найдите координаты её вершины.

Решение.

Одна из возможных форм записи уравнения параболы в общем виде выглядит так: Координата вершины параболы находится по формуле Координата вершины параболы найдётся подстановкой в уравнение параболы. Таким образом, задача сводится к нахождению коэффициентов и Подставив координаты точек, через которые проходит парабола, в уравнение параболы, получим систему из трёх уравнений:

Найдём координаты вершины:

Ответ: (−1; −6).

Задание 24 № 340853

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 15, AC = 25.

Решение.

Пусть DC = x. Тогда по свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки к окружности, получаем:

откуда

Ответ: 16.

Задание 25 № 77

В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рисунок). Докажите, что ВFDЕ — параллелограмм.

Решение.

Прямоугольные треугольники ABE и CDF равны по гипотенузе и острому углу (AB = CD как противолежащие стороны параллелограмма; ∠ BAE = ∠ DCF как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC). Следовательно, BE = DF. Кроме того, BE || DF, т. к. это перпендикуляры к одной прямой. Таким образом, в четырёхугольнике BFDE противолежащие стороны равны и параллельны, поэтому BFDE — параллелограмм.

Задание 26 № 339675

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 25 и CD = 16 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠ AKB =60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Для решения этой задачи необходимо знание формул тригонометрии.

Решение.

Проведём через точку прямую, параллельную диагонали Дуги и равны, следовательно, равны и стягивающие их хорды: