Передвинем хорду так, чтобы она стала параллельна стороне (см. рисунок). Заметим, что при таком движении угол остаётся равен 60°, поскольку он равен полусумме дуг и Параллельные прямые отсекают равные дуги, поэтому дуги и равны. Углы и равны, как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги. Таким образом, треугольник — равнобедренный:
Все углы треугольника равны 60°, следовательно, треугольник — равносторонний, значит, Аналогично можно показать, что треугольник — равносторонний, откуда
Рассмотрим треугольник По теореме косинусов:
По теореме синусов:
Приведём другое решение.
Рассмотрим треугольник сумма углов треугольника равна 180°: Углы и являются смежными, следовательно, откуда:
Пусть — радиус описанной окружности, угол обозначим как Рассмотрим треугольник он вписан в окружность, следовательно, по теореме синусов:
Аналогично, из треугольника
Разделим на
Откуда:
Найдём
Таким образом, радиус описанной окружности равен: