Метод статистических испытаний

Тема: Метод статистических испытаний

План лекции:

1. Метод статистических испытаний.

2. Типы генераторов случайных чисел.

3. Линейные конгруэнтные генераторы.

4. Проверка последовательностей случайных чисел.

Метод статистических испытаний

Метод статистических испытаний – это числовой метод математического моделирования случайных величин, который предусматривает непосредственное включение случайного фактора в процесс моделирования и является его существенным элементом. Влияние случайных факторов на систему моделируется с помощью случайных чисел. Результатом моделирования являются случайные процессы или величины, характеризующие систему, которая моделируется. Чтобы их вероятностные характеристики (вероятность некоторых событий, математическое ожидание, дисперсия случайных величин, вероятности попадания случайной величины в заданную область и др.) совпадали с аналогичными параметрами реальной системы или процесса во время моделирования необходимо получить большое количество реализаций случайных величин или процессов. Таким образом, метод заключается в многократном проведении испытаний построенной вероятностной модели и дальнейшей статистической обработке результатов моделирования с целью определения искомых характеристик процесса, которые рассматриваются в виде оценок его параметров. Точность оценок этих параметров определяет степень приближения решения задачи к вероятностным характеристикам.

На практике метод статистических испытаний целесообразно использовать в таких случаях, когда:

- решать задачу этим методом проще, чем любым другим методом;

- исследуется система, функционирование которой определяется многими вероятностными параметрами элементарных явлений;

- трудно или невозможно построить аналитическую вероятностную модель системы.

Независимо от типа исследуемой модели системы, применяя метод статистических испытаний, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить, что представляет собой каждое испытание и указать, какое испытание будет успешным, а какое – нет.

2. Вычислить число испытаний, которые необходимо провести, чтобы получить результаты с заданной точностью, и провести эти испытания.

3. Выполнить статистическую обработку результатов испытаний и вычислить оценки необходимых статистических характеристик.

4. Проанализировать точность полученных статистических характеристик.

В методе статистических испытаний особенное значение играют случайные числа, равномерно распределенные на промежутке . Важнейшее их свойство заключается в том, что с их помощью можно получить выборочные значения, которые имеют любое другое распределение, или смоделировать случайный процесс с разными статистическими свойствами.

Следовательно, для использования метода статистических испытаний необходимы определенные возможности, а именно:

- генерировать случайные числа, равномерно распределенные на промежутке ;

- описывать моделируемые случайные явления функциями распределения вероятностей и вероятностными процессами;

- иметь методы получения случайных величин функций распределения вероятностей (дискретных и непрерывных), которые базируются на случайных числах, равномерно распределенных на промежутке ;

- оценивать статистические характеристики случайных величин из полученных с помощью метода статистических испытаний чисел выборочной последовательности;

- определять точность полученных статистических оценок как функций от числа испытаний.

Случайные числа, равномерно распределенные на промежутке , имеют два основных свойства:

1. Если  — случайные числа, равномерно распределенные на промежутке [0,1], то их функция распределения  (по определению ) удовлетворяет соотношению:

Следует отметить, что теоретически эти случайные числа должны быть выборочными значениями непрерывной величины с функцией плотности, определенной таким образом:

2. Случайные числа  являются независимыми, если их совместную функцию распределения  можно представить как произведение функций распределения:

или, учитывая, что  случайных чисел имеют одинаковые распределения, можно записать:

.

Для реализации метода статистических испытаний необходимо имитировать случайные явления, которые рассматриваются в задаче. Для этого или проводят эксперимент, который непосредственно рассматривается в задаче, или заменяют его экспериментом, который имеет схожую вероятностную структуру. Рассмотрим на примере, как реализуется этот метод.

Пример. Устройство состоит из трёх блоков. Вероятность бесперебойной работы каждого блока в течение года равна 5/6. Блоки выходят из строя независимо один от другого. При отказе хотя бы одного блока устройство перестаёт работать. Найти вероятность того, что устройство в течение года откажет.

Решение методомстатистических испытаний. Очевидно, что наблюдать за работой устройства в течение года нецелесообразно, поэтому заменим этот эксперимент другим. Возьмем для каждого блока по игральному кубику и будем их подкидывать. Условимся, что если на одном кубике выпала "1", то соответствующий блок отказал (поскольку вероятность бесперебойной работы каждого блока в течение года равна 5/6, следовательно, вероятность отказа 1/6). Если хотя бы на одном кубике выпадет "1", то устройство выйдет из строя.

Повторим испытание, которое заключается в подкидывании трёх кубиков, много раз подряд и найдем отношение числа  отказов устройства к общему числу испытаний . Тогда вероятность того, что устройство в течение года выйдет из строя, равна .

Чем больше будет число проведенных испытаний, тем выше точность решения задачи. Что же может обеспечить такое большое число испытаний? Безусловно, применение ЭВМ. Оказывается, что для имитации случайных явлений разной природы достаточно получить на ЭВМ последовательность значений случайной величины, равномерно распределенной на промежутке . Процесс принятия значений случайной величиной называют её моделированием.