Назначение и описание коэффициента ранговой корреляции Спирмена

Метод ранговой корреляции Спирмена позволяет определить тес­ноту (силу) и направление корреляционной связи между двумя призна­ками или двумя профилями (иерархиями) признаков.

Для подсчета ранговой корреляции необходимо располагать двумя рядами значений, которые могут быть проранжированы. Такими рядами значений могут быть:

1) Два признака, измеренные в одной и той же группе испытуемых.

Здесь ранжируются ин­дивидуальные значения по первому признаку, полученные разными ис­пытуемыми, а затем индивидуальные значения по второму признаку.

В случае отрицательной корреляции низким рангам испытуемых по одному признаку будут соответствовать высокие ранги по другому признаку, и наоборот.

2) Две индивидуальные иерархии признаков, выявленные у двух испы­туемых по одному и тому же набору признаков (например, личност­ные профили по 16-факторному опроснику Р. Б. Кеттелла, иерархии ценностей по методике Р. Рокича, последовательности предпочтений в выборе из нескольких альтернатив и др.).

Здесь ранжируются индивидуальные значения, полученные каждым из 2-х испытуемых по определенному (одинаковому для них обоих) набору признаков. Первый ранг получит признак с самым низким значением; второй ранг – признак с более высоким значением и т.д. Очевидно, что все признаки должны быть измерены в одних и тех же единицах, иначе ранжирование невозможно.

3) Две групповые иерархии признаков.

Здесь ранжи­руются среднегрупповые значения, полученные в 2-х группах испытуе­мых по определенному, одинаковому для двух групп, набору признаков. В дальнейшем линия рассуждений такая же, как и в предыдущих двух случаях.

4) Индивидуальная и групповая иерархии признаков.

Здесь ранжируются отдельно индивидуальные значения испытуемого и среднегрупповые значения по тому же набору признаков, которые полу­чены, как правило, при исключении этого отдельного испытуемого, – он не участвует в среднегрупповом профиле, с которым будет сопоставляться его индивидуальный профиль. Ранговая корреляция позволит проверить, насколько согласованы индивидуальный и групповой профили.

Во всех четырех случаях значимость полученного коэффициента корреляции определяется по количеству ранжированных значений N.                

Возможны два варианта гипотез. Первый относится к первому случаю, второй – к трем остальным случаям.

Первый вариант гипотез

Н₀: Корреляция между переменными А и B не отличается от нуля.

Н₁: Корреляция между переменными А и B достоверно отличается от нуля.

Второй вариант гипотез

Н₀: Корреляция между иерархиями А и B не отличается от нуля.

Н₁: Корреляция между иерархиями А и B достоверно отличается от нуля.

(Курсивом в гипотезах выделены и подчеркнуты слова, которые меняются при формулировке гипотез к конкретной задаче.)

 

Ограничения коэффициента ранговой корреляции Спирмена

1) Сравниваемые переменные должны быть получены в порядковой, интервальной шкалах или в шкале отношений.

2) Характер распределения коррелируемых величин не имеет значения.

3) Число варьирующих признаков должно быть одинаковым и находиться в пределах от 5 до 40, т.к. верхняя граница выборки определяется имеющимися таб­лицами критических значений (Табл.ХVI Приложения 1), а именно N < 40.

4) Коэффициент ранговой корреляции Спирмена r_s при большом коли­честве одинаковых рангов по одной или обеим сопоставляемым пе­ременным дает огрубленные значения. В случае если есть много повторяющихся рангов, то необ­ходимо вносить поправку на одинаковые ранги.

Сформулируем общий алгоритм подсчета r_s.

АЛГОРИТМ

Расчет коэффициента ранговой корреляции Спирмена r_s.

1. Определить, какие два признака или две иерархии признаков будут участвовать в сопоставлении как переменные А и В.

2. Проранжировать значения переменной А, начисляя ранг 1 наимень­шему значению, в соответствии с правилами ранжирования. Занести ранги в первый столбец таблицы по порядку номе­ров испытуемых или признаков.

3. Проранжировать значения переменной В, в соответствии с теми же правилами. Занести ранги во второй столбец таблицы по порядку номеров испытуемых или признаков.

4. Подсчитать разности d между рангами А и В по каждой строке таблицы и занести в третий столбец таблицы.

5. Возвести каждую разность в квадрат: d^{2 .} Эти значения занести в четвертый столбец таблицы.

6. Подсчитать сумму квадратов ∑d²,

7. При наличии одинаковых рангов рассчитать поправки:

Т_а =∑(а³ – а)/12

Т_b =∑(b³ – b)/12

где а - объем каждой группы одинаковых рангов в ранговом ряду А;

     b - объем каждой группы одинаковых рангов в ранговом ряду В.

8. Рассчитать коэффициент ранговой корреляции r_s по формуле:

а) при отсутствии одинаковых рангов

   (Ф1)

б) при наличии одинаковых рангов

  (Ф2)

где ∑d²  - сумма квадратов разностей между рангами;

Т_а и Т_b - поправки на одинаковые ранги;

N - количество испытуемых или признаков, участвовавших в ранжировании,

9. Определить по Табл. XVI Приложения 1 критические значения r_s для данного N. Если r_s  превышает критическое значение или по крайней мере равен ему, корреляция достоверно отличается от 0.

 

Пример 1.1:

Психолог выясняет, как связаны между собой индивидуальные показатели готовности к школе, полученные до начала обучения в школе, у 11 первоклассников по 100-бальной шкале и их средняя успеваемость в конце учебного года по 5-бальной шкале.

Решение

Для решения задачи были проранжированы показатели готовности к школе и средняя успеваемость первоклассников. Данные и результаты решения занесены в таблицу 3.1.

Гипотезы к задаче

Н₀: Корреляция между показателем готовности к школе и средней успеваемостью в конце учебного года не отличается от нуля.

Н₁: Корреляция между показателем готовности к школе и средней успеваемостью в конце учебного года статистически значимо отличается от нуля.

Таблица 3.1.

Испытуемый	Показатели готовности к школе		Средняя успеваемость в конце учебного года		d	d2
	Значения	Ранг	Значения	Ранг
1	65	3	4,3	2	1	1
2	70	5	4,7	7	-2	4
3	71	6	4,75	8	-2	4
4	50	1	4,35	3	-2	4
5	68	4	4,5	4	0	0
6	83	11	4,68	6	5	25
7	78	9	5	11	-2	4
8	62	2	3,5	1	1	1
9	75	8	4,9	10	-2	4
10	72	7	4,6	5	2	4
11	80	10	4,8	9	1	1
Суммы	774	66	50,08	66	0	52

Значение эмпирического критерия находим по формуле (Ф1):

 

r _{s эмп}  = 1 - 6 _* 52 / 11 _* (11² - 1) = 312/1320=0,76

Определим критические значения r_s при n = 11 по Табл. XVI Приложения 1:

Подчеркнем, что в таблице критических значений все величины коэффициентов корреляции даны по абсолютной величине. Знак коэффициента учитывается только при его интерпретации.

«Ось значимости»

Ответ:

  r_{s эмп} =0,76, Н₀ - нулевая гипотеза отклоняется и принимается альтернативная гипотеза (a =0,01). Корреляция между показателем готовности к школе и средней успеваемостью в конце учебного года отличается от нуля. Можно утверждать, что показатели школьной готовности и итоговые оценки первоклассников связаны положительной корреляционной зависимостью – чем выше показатель школьной готовности, тем лучше учится первоклассник.

 

 

Пример 1.2:

Выборке петербуржцев (31 мужчина, 46 женщин, всего n=77), предлагалось ответить на вопрос: "Какой уровень развития каждого из перечисленных ниже качеств необходим для депутата Городского собрания Санкт-Петербурга?" Оценка производилась по 10-балльной шкале. Параллельно с этим обследовалась выборка из Городского собрания Санкт-Петербурга (n=14). Индивидуальная диагностика политических деятелей производилась по тому же набору личностных качеств, который предъявлялся выборке избирателей.

В Табл. 3.2. представлены средние значения, полученные для ка­ждого из качеств в выборке избирателей ("эталонный ряд") и индиви­дуальные значения одного из депутатов Городского собрания.

Попытаемся определить, насколько индивидуальный профиль де­путата К-ва коррелирует с эталонным профилем.

Таблица 3.2.

Усредненные эталонные оценки избирателей (n=77) и индивидуальные показатели депутата К-ва по 18 личностным качествам

Наименование качества	Усредненные эталонные оценки избирателей	Индивидуальные показатели депутата К-ва
1. Общий уровень культуры	8,64	15
2. Обучаемость	7,89	7
3. Логика	8.38	12
4. Способность к творчеству нового	6,97	5
5. Самокритичность	8,28	14
6. Ответственность	9,56	18
7. Самостоятельность	8,12	13
8. Энергия, активность	8,41	17
9. Целеустремленность	8,00	19
10. Выдержка, самообладание	8,71	9
11. Стойкость	7,74	16
12. Личностная зрелость	8,10	11
13. Порядочность	9,02	12
14.Гуманизм	7.89	10
15.Умение общаться с людьми	8.74	8
16. Терпимость к чужому мнению	7,84	6
17. Гибкость поведение	7,67	4
18.Способность производить благоприятное впечатление	7,23	8

Таблица 3.3.

Расчет d² для рангового коэффициента корреляции Спирмена между эталонным и индивидуальным профилями личностных качеств депутата

Наименование качества	Ряд А: ранг качества в эталонном профиле	Ряд В: ранг качества в индивидуальном профиле	d	d2
1 Ответственность	1	2	-1	1
2 Порядочность	2	8,5	-6.5	42.25
3 Умение общаться с людьми	3	13,5	-10.5	110,25
4 Выдержка, самообладание	4	12	-8	64
5 Общий уровень культуры	5	5	0	0
6 Энергия, активность	6	3	3	9
7 Логика	7	8,5	-1.5	2.25
8 Самокритичность	8	6	2	4
9 Самостоятельность	9	7	2	4
10 Личностная зрелость	10	10	0	0
11 Целеустремленность	11	1	10	100
12 Обучаемость	12,5	15	-2,5	6,25
13 Гуманизм	12,5	11	1,5	2,25
14 Терпимость к чужому мнению	14	16	-2	4
15 Стойкость	15	4	11	121
16 Гибкость поведения	16	18	-2	4
17 Способность производить благоприятное впечатление	17	13,5	3.5	12,25
13 Способность к творчеству нового	18	17	1	1
Суммы	171	171	0	487,5

 

Как видно из Табл. 3.2, оценки избирателей и индивидуальные показатели депутата варьируют в разных диапазонах. Отметим, что оценки избирателей были получены по 10-балльной шкале, а индивиду­альные показатели депутата по 20-балльной шкале. Ранжирование позволит нам перевести обе шкалы измерения в единую шкалу, где единицей измерения будет 1 ранг, а максимальное значение составит 18 рангов.

Ранжирование проводим отдельно по каждому ряду значений. В данном случае начисляем большему значению меньший ранг, чтобы сразу можно было увидеть, на каком месте по значимости (для избирателей и для депутата) находится то или иное качество.

Результаты ранжирования представлены в Табл. 3.3. Качества перечислены в последовательности, отражающей эталонный профиль.