Определенный интеграл

Урок №128

Комбинированное занятие № 57

Тема: Определенный интеграл. Свойства определенного интеграла.

Цель:

Учебная:

- познакомить обучающихся с понятием определенного интеграла и его свойствами;

Развивающая:

- формирование умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного, логически излагать мысли, делать выводы, развивать речь, внимание и память.

Воспитательная:

- способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выявления главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Методы обучения: практическая работа, контрольная работа.

Оборудование: компьютер, проектор.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Формируемые на уроке ПК и ОК

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

План занятия.

1. Организационный момент.

2. Актуализация темы.

3. Определенный интеграл.

4. Свойства определенного интеграла.

5. Домашнее задание.

6. Итоги занятия.

Ход занятия.

1. Организационный момент – приветствие, проверка посещаемости.

Актуализация темы.

Обучающиеся вспоминают, что такое неопределенный интеграл.

Определенный интеграл.

Рассмотрим функцию у = f(x), непрерывную на отрезке [ a; b ]. Она может быть положительной, отрицательной или может менять знак на нем.

Рассмотрим предел интегральной суммы S_n (см. формулу (4) из предыдущего занятия), т. е. выражение

I = f(c₀) Δ x₀ + f(c₁) Δ x₁ +... + f(c_n-1) Δ x_n-1)

Отвлекаясь от задачи нахождения площади, можно смотреть на него как на некоторую операцию, при помощи которой по данной функции у = f(x), заданной на отрезке [ a; b ], определяется число I. Эту операцию называют интегрированием функции f(x) на отрезке [ a; b ], а результат этой операции называют определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [ a; b ] и записывают так:

I = f(c₀) Δ x₀ + f(c₁) Δ x₁ +... + f(c_n-1) Δ x_n-1) =

Итак, определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [ a; b ] называют предел интегральной суммы, когда длина максимального частичного отрезка разбиения стремится к нулю. Число а называют нижним пределом (число b – верхним пределом) интеграла .

В теории определенного интеграла доказывается, что всякая непрерывная на отрезке [ a; b ] функция интегрируема на нем.

Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что:

а) если f(x) ≥ 0 на отрезке [ a; b ], то определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = f(x), у = 0,
х = а, х = b (рис. слева);

б) если f(x) < 0 на отрезке [ a; b ], то определенный интеграл равен взятой со знаком «минус» площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = f(x), у = 0, х = а, х = b (рис. справа).

ПРИМЕР 1. Вычислим определенный интеграл , пользуясь

геометрическим смыслом определенного интеграла.

Рассмотрим функцию у = х на отрезке [-2; 0]. На этом отрезке она неположительна (рис. слева). Очевидно, что определенный интеграл равен взятой со знаком «минус» площади треугольника АВО, т. е.

= –S_ABO = – = – = – 2

4. Свойства определенного интеграла.

Основные свойства определенного интеграла выражаются формулами

= + (1)

=A , где A — данная постоянная, (2)

= + (3)

Свойство (1) (для случая a < с < b) означает, что площадь криволинейной трапеции над отрезком [ а; b ] равна площади трапеции над отрезком [а; с ] плюс площадь трапеции над отрезком [с; b ] (см. рисунок справа)

Свойство (2) означает, что площадь криволинейной трапеции, определяемой функцией f(x), увеличивается в А раз (А > 0) для функции Af(x).

Свойство (3) означает, что площадь криволинейной трапеции, определяемой суммой f(x) + φ(x), равна сумме площадей, соответствующих слагаемых f(x) и φ(x).

Пример 1. = – + = –
–2 + x = – 1 + 1 =

Пример 2. = + = 2sin x – 3cos x = 2+3 = 5

Пример 3. – = = = () = (2² + 2) – (0² + 0) = 6

Рассмотрим пример вычисления площади фигуры, которую пересекает ось Ох.

ПРИМЕР 4. Найдем площадь фигуры, ограниченной графиками функций у = – х ² + 2 и у = х ² – 2 х – 2.

1 способ. Графики данных функций пересекаются в точках с абсциссами -1 и 2, которые найдены как решения уравнения -х² + 2 = х² - 2х - 2.

Графики данных функций изображены на рисунке слева, и, очевидно, сложно вычислить площадь фигуры S обычным способом. Выполним параллельный перенос графиков на 4 единицы вверх, чтобы на отрезке
[-1; 2] обе функции принимали положительные значения, т. е. найдем площадь равной фигуры, но ограниченной уже графиками функций
у = –х² + 6 и у = х² – 2х + 2 (рис. справа).

Так как

S₁ = = = = 15 (кв. ед.)