Можно использовать формулу длины окружности: . Стало быть, отложим угол и получим точку .
Итак, расположение точки найдено двумя способами.
Рис. 3.Нахождение декартовых координат точки
Найдем декартовы координаты и . Эти координаты можно найти из прямоугольного треугольника . В нем известна гипотенуза , известен острый угол (рис. 3). Значит, ; .
Ответ: ; .
Задача 2.
Дана точка ; .
Найти: координаты точек , симметричных относительно осей координат и точке .
Решение:
Будет очевидным, если мы каждую дугу разделим на 3 равные части, каждая часть имеет длину , учтем симметрию и в результате получим ответ.
Для точки (рис. 4): ; ; .
Для точки (рис. 4): ; ; .
Для точки (рис. 4): ; ; .
Рис. 4.Координаты симметричных точек относительно осей и относительно центра
Замечание
Криволинейных координат бесчисленное множество. Например, точка . Координата точки ; ; ;
Обратная задача
Дано значение абсциссы .
Найти множество значений аргумента.
Множество значений всех . А именно, решить уравнение . Чтобы решить это уравнение, нужно вспомнить, каким образом по заданному числу мы получали точку и ее декартовы координаты. А именно, мы откладывали дугу, отмечали точку на окружности. Затем опускали перпендикуляры и получали декартовы координаты.
|
|
Здесь процесс выполняется в обратном направлении. Из точки (рис. 5) в координаты восстанавливаем перпендикуляр к оси и получим две точки и на единичной окружности. Это единственная пара точек на окружности с заданной абсциссой . Теперь нужно определить длину дуги (рис. 5). Рассмотрим треугольник . Гипотенуза – 1, катет – .
Рис. 5. Построение точки и определение ее декартовых координат
Значит, . Отсюда . И соответствующая дуга . , значит, первая криволинейная координата точки : , а точки : .Все координаты точки , а все координаты точки (рис. 5).
Ответ: