Три попарно перпендикулярные прямые, на которых выбрано направление и единичные отрезки, называются прямоугольной системой координат в пространстве.
Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка – началом координат. Она обозначается буквой О. Оси координат обозначаются так: Ох, Оу. Их называют: ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат. Вся система обозначается Охуz.
Три плоскости, проходящие соответственно через оси координат Ох и Оу, Оу и Оz, Оz и Ох - координатные плоскости. Их обозначают Оху, Оуz, Оzх.
Точка О разделяет каждую из осей координат на 2 луча, один из них – положительная полуось, другой – отрицательная полуось.
В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются её координатами.
М (х; у; z), х – абсцисса, у – ордината, z- аппликата.
При решении задач в координатах применяют правила:
1. Если вектор имеет координаты , то его можно разложить по координатным векторам
|
|
где - координатные (базисные) векторы.
Базисные векторы записываются следующим образом:
Пусть даны векторы и
2. Если , то
3.
4.
5.
Скалярное произведение векторов:
Скалярное произведение векторов в координатах:
6. Признаки ортогональности и коллинеарности векторов.
1) , если = 0 {векторы перпендикулярны (ортогональны), если их скалярное произведение (сумма произведений одноименных координат) равно нулю}.
2) , векторы параллельны(коллинеарные) если координаты векторов пропорциональны
Пусть даны векторы и , если .
Вычисление координат середины отрезка
и - середина отрезка
Вычисление длины вектора по его координатам
Расстояние между двумя точками
Угол между векторами и
Угол между прямыми, где и - направляющие векторы прямых
Примеры решения задач:
№1
Дано:
Решение
1) Находим координаты вектора ;
2) Затем находим координаты вектора
3) Теперь находим аналогично координаты вектора
4) Теперь находим сумму данных векторов, складывая соответствующие координаты:
Ответ:
№ 2
Дано:
; 2) .
Решение
1.
1) Находим координаты вектора ;
2) Затем находим разность векторов
;
3) Теперь находим длину вектора :
2.
1) Находим координаты вектора
;
2) Находим координаты вектора
;
3) Затем находим сумму векторов
;
4) Теперь находим длину вектора :
Ответ:
ВАРИАНТ
1. По данным рисунка определите координаты всех точек.
|
|
2. Найдите длины векторов: АВ, BD, DC,CF, FE, DA.
3. Найдите скалярное произведение векторов: AB и CF, FE и DA.
4. Вычислите угол между векторами BD и DC.
_______________________________________________________________________
ВАРИАНТ
1. По данным рисунка определите координаты всех точек.
2. Найдите длины векторов: ВC, DF, DE, BF, AE, CE.
3. Найдите скалярное произведение векторов: DF и AE; BF и DE.
4. Вычислите угол между векторами BC и CE.
Домашнее задание «Метод координат в пространстве» Вариант 1 1.Даны точки А(5; 0; 2), В(4; -3; 2), С(0; 0; 1), D(2; -4; -4). Найдите: а) координаты векторов и ; б) координаты векторов ; ; . в) длины векторов ; г) скалярное произведение векторов 2. Вершины треугольника КМN имеют координаты K(-2; 3; -2), M(8; 1;2), N(2; -3; 0). Найдите: а) координаты середины стороны КМ; б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний); в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой) | Домашнее задание «Метод координат в пространстве» Вариант 2 1.Даны точки А(5; -5; 0), В(-2; 1; -3), С(0; 3; 1), D(1; 3; -4). Найдите: а) координаты векторов и ; б) координаты векторов ; ; . в) длины векторов ; г) скалярное произведение векторов 2. Вершины треугольника КМN имеют координаты K(8; 3; 5), M(14; 1;0), N(12; -5; 0). Найдите: а) координаты середины стороны КМ; б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний); в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой) |
Домашнее задание «Метод координат в пространстве» Вариант 3 1.Даны точки А(4; 4; 0), В(1; 0; 5), С(-1; -5; 0), D(10; -1; 0). Найдите: а) координаты векторов и ; б) координаты векторов ; ; . в) длины векторов ; г) скалярное произведение векторов 2. Вершины треугольника КМN имеют координаты K(3; 8; -4), M(-5; 8;4), N(-5; 0;-4). Найдите: а) координаты середины стороны КМ; б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний); в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой) | Домашнее задание «Метод координат в пространстве» Вариант 4 1.Даны точки А(3; 0; 3), В(0; -3; 1), С(-1; 2; 1), D(4; 4; -2). Найдите: а) координаты векторов и ; б) координаты векторов ; ; . в) длины векторов ; г) скалярное произведение векторов 2. Вершины треугольника КМN имеют координаты K(5; -1; -3), M(1; 6;2), N(9; 6; 2). Найдите: а) координаты середины стороны КМ; б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний); в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой) |
Домашнее задание «Метод координат в пространстве» Вариант 5 1.Даны точки А(-1; -2; -1), В(3; -2; 0), С(4; -4; 0), D(0; 3; 2). Найдите: а) координаты векторов и ; б) координаты векторов ; ; . в) длины векторов ; г) скалярное произведение векторов 2. Вершины треугольника КМN имеют координаты K(4; 5; -3), M(6; 13;0),N(-4; 7; 0). Найдите: а) координаты середины стороны КМ; б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний); в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой) | Домашнее задание «Метод координат в пространстве» Вариант 6 1.Даны точки А(3; 3; 1), В(-3; 1; -3), С(0; -2; 5), D(2; 3; 4). Найдите: а) координаты векторов и ; б) координаты векторов ; ; . в) длины векторов ; г) скалярное произведение векторов 2. Вершины треугольника КМN имеют координаты K(4; -3; 5), M(7;-12;0), N(-1; -7; 2). Найдите: а) координаты середины стороны КМ; б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний); в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой) |
Домашнее задание «Метод координат в пространстве» Вариант 7 1.Даны точки А(1; -2; 0), В(2; 2; 3), С(3; 0; 5), D(-4; -1; -2). Найдите: а) координаты векторов и ; б) координаты векторов ; ; . в) длины векторов ; г) скалярное произведение векторов 2. Вершины треугольника КМN имеют координаты K(-2; 0; 4), M(8; -2; 4), N(6; 8; 4). Найдите: а) координаты середины стороны КМ; б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний); в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой) | Домашнее задание «Метод координат в пространстве» Вариант 8 1.Даны точки А(-3; 1; 0), В(0; 0; 1), С(2; -2; 2), D(-1; -1; -4). Найдите: а) координаты векторов и ; б) координаты векторов ; ; . в) длины векторов ; г) скалярное произведение векторов 2. Вершины треугольника КМN имеют координаты K(8;7;-3), M(10;15;-3),N(2;13;-3). Найдите: а) координаты середины стороны КМ; б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний); в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой) |
|
|
Домашнее задание «Метод координат в пространстве» Вариант 9 1.Даны точки А(3; 0; 2), В(-1; -2; 4), С(0; 0; 2), D(-3; 3; 2). Найдите: а) координаты векторов и ; б) координаты векторов ; ; . в) длины векторов ; г) скалярное произведение векторов 2. Вершины треугольника КМN имеют координаты K(8; 3; 4), M(14; 1;0), N(12;-5;-4). Найдите: а) координаты середины стороны КМ; б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний); в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой) | Домашнее задание «Метод координат в пространстве» Вариант 10 1.Даны точки А(0; -2; 1), В(-2; -2; 0), С(1; 2; 3), D(1; 0; -1). Найдите: а) координаты векторов и ; б) координаты векторов ; ; . в) длины векторов ; г) скалярное произведение векторов 2. Вершины треугольника КМN имеют координаты K(0; -2; 5), M(-2;8;-1), N(8; 6; 4). Найдите: а) координаты середины стороны КМ; б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний); в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой) |
Домашнее задание «Метод координат в пространстве» Вариант 11 1.Даны точки А(-2; 0; 3), В(1; 1; 1), С(3; -2; -2), D(1; 2; 0). Найдите: а) координаты векторов и ; б) координаты векторов ; ; . в) длины векторов ; г) скалярное произведение векторов 2. Вершины треугольника КМN имеют координаты K(3; 8; 3), M(8; 14; 1), N(6;12;-5). Найдите: а) координаты середины стороны КМ; б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний); в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой) | Домашнее задание «Метод координат в пространстве» Вариант 12 1.Даны точки А(-1; 2; -2), В(3; -3; 0), С(0; 1; -1), D(-2; 3; 1). Найдите: а) координаты векторов и ; б) координаты векторов ; ; . в) длины векторов ; г) скалярное произведение векторов 2. Вершины треугольника КМN имеют координаты K(2;-2; 3), M(2; 8; 1), N(2; 2;-3). Найдите: а) координаты середины стороны КМ; б) длины сторон треугольника и определите вид этого треугольника (равносторонний, равнобедренный или разносторонний); в) вычислите косинус угла М и определите вид этого угла (острый, прямой или тупой) |
|
|