Переменная величина , последовательные значения которой можно пронумеровать , называется числовой последовательностью { xn }.
Последовательность { xn } называется возрастающей, если xn < xn +1 для всех натуральных значений индекса ; неубывающей, если xn £ xn +1; убывающей, если xn > xn +1, и невозрастающей, если xn ³ xn +1 для всех значений индекса . Все такие последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются также строго монотонными.
Последовательность { xn } называется ограниченной сверху (или снизу ), если существует число M (или ) такое, что при всех натуральных n выполняется неравенство (или ). Последовательность { xn } называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.
Число a называют пределом последовательности { xn } и пишут (или при ), если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется такой номер N, что при всех n > N выполняется неравенство .
Интервал (a – e, a + e) называется e- окрестностью точки a.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, последовательность, не имеющая предела, — расходящейся.
|
|
1.2.2 Свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин
Последовательность a n называется бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует номер N такой, что при всех n > N выполняется неравенство |a n | < e. Предел бесконечно малой величины равен нулю:
.
Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа M существует номер N такой, что при всех n > N выполняется неравенство | zn | > M. В этом случае пишут или .
Теорема: последовательность, обратная бесконечно большой, является бесконечно малой, т.е. если , то .
Теорема: последовательность, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой, т.е. если , то .
Теорема: произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.
Теорема: сумма бесконечно большой последовательности и ограниченной последовательности есть бесконечно большая последовательность.
1.2.3 Свойствасходящихся последовательностей
Теорема (о единственности предела): если последовательность сходится, то она имеет только один предел.
Теорема (об ограниченности сходящейся последовательности): если последовательность сходится, то она ограничена.
Ограниченность является необходимым, но не является достаточным условием сходимости, ограниченная немонотонная последовательность может предела не иметь.
|
|
Теорема (о пределе суммы, произведения и частного): если последовательности { xn } и { yn } сходятся, то их сумма, разность и произведение суть сходящиеся последовательности.
При этом
В частности, если — постоянная величина, то
При дополнительном условии: для любого и частное двух сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность.
При этом
Теорема (о предельном переходе в неравенстве): если элементы сходящейся последовательности { xn }, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству
xn ³ b (или xn £ b) то и предел этой последовательности удовлетворяет неравенству
Теорема (о сжатой последовательности): если даны три последовательности { xn },{ yn } и { zn }, причем для всех n, и последовательности { xn } и { zn } имеют один и тот же предел a, то последовательность { yn } также имеет предел a.
Теорема (о пределе монотонной последовательности): если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.
Предел функции
Переменная y называется функцией переменной x, если каждому значению переменной x из области ее изменения, соответствует определенное значение y.