Интегрирование элементарных дробей

Рациональной дробью называется дробь вида , где  и  – многочлены.

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена  ниже степени многочлена , в противном случае дробь называется неправильной.

Элементарными называются дроби следующих четырех типов:

I.

II. , где m – целое число, большее единицы;

III. , где , т.е. квадратный трехчлен  не имеет действительных корней;

IV. , где n – целое число, большее единицы и квадратный трехчлен  не имеет действительных корней

Интегрирование рациональных дробей

С помощью разложения на элементарные дроби.

Для интегрирования рациональной дроби  необходимо выполнить следующие алгебраические преобразования и вычисления:

1) если дана неправильная рациональная дробь, то нужно выделить из нее целую часть, т.е. представить в виде

,

где – многочлен, а  – правильная рациональная дробь

2) разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:

3) правильную рациональную дробь разложить на элементарные дроби:

вычислить неопределенные коэффициенты A, B, …, F, …, K, L, M, N, …, S, T, …, для чего умножить обе части последнего равенства на , приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях полученного тождества, и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов.

 Контрольные вопросы

1. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби.

2. Метод неопределенных коэффициентов.

 

Раздел 4. Определенный интеграл.

Тема 4.1. Вычисление площади плоской фигуры и поверхности вращения.

Основные свойства определенного интеграла. Формулы для вычисления площадей криволинейных трапеций, ограниченных кривыми и отрезками.

Цели занятия:

Должен уметь: Вычислять определенные интегралы и находить  площади плоских фигур.

Должен знать: Основные свойства определенного интеграла. Формулы для вычисления площадей криволинейных трапеций, ограниченных кривыми и отрезками.