Теоретический материал для самостоятельного изучения

Задание для 101 группы по алгебре за 30 апреля

Тема «Тригонометрические тождества»

1. Посмотри видео урок по теме «Тригонометрические тождества»  по ссылке  videouroki.net

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Тождество – это равенство справедливое для всех допустимых α, т.е. при которых оно имеет смысл.

Такие равенства называются тождествами, а их преобразования тождественными.

При изучении темы «Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента мы уже встретились с тождествами. Например, это все формулы зависимости межу синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла.

(1),    ,            (2)      ,          (3),     tg α ∙ ctg α = 1 (4),

    (5),     (6)

Сегодня мы выясним, как можно использовать эти формулы при упрощении тригонометрических выражений и доказательстве тригонометрических тождеств.

Для выполнения тождественных преобразований тригонометрических выражений можно использовать не только данные тригонометрические тождества, но и другие формулы тригонометрии, а также алгебраические преобразования, например, действия с дробями, вынесение за скобки общего множителя, формулы сокращённого умножения и т. д.

Доказательство тригонометрических тождеств При доказательстве любых тождеств, и в частности тригонометрических, обычно используют следующие способы: 1) выражение, стоящее и одной части равенства, с помощью тождественных преобразований приводят к выражению, стоящему в другой части равенства; 2) выражения, стоящие в левой и правой частях тождества, с помощью тождественных преобразований приводят к одному и тому же виду; 3) доказывают, что разность между левой и правой частями данного тождества равна нулю. Поясним это на некоторых частных примерах. Пример 1. Доказать тождество sin4 α — cos4 α = sin2 α — cos2 α. Используя формулу для разности квадратов двух чисел, получаем: sin4 α — cos4 α = (sin2 α + cos2 α) (sin2 α — cos2 α). Ho sin2 α + cos2 α = 1. Поэтому sin4 α — cos4 α = sin2 α — cos2 α, что и требовалось доказать.

Пример 2. Доказать тождество sin4 α + cos4 α — 1 = — 2 sin2 α cos2 α. Покажем, что разность между левой и правой частями. данного тождества равна нулю. Имеем: (sin4 α + cos4 α — 1) — (— 2 sin2 α cos2 α) = (sin4 α + 2sin2 α cos2 α + cos4 α) — 1 = = (sin2 α + cos2 α)2 — 1 = 1 — 1 = 0. Тем самым тождество доказано. Пример 3. Доказать тождество Это тождество можно рассматривать как пропорцию. Но чтобы доказать справедливость пропорции a/b = c/d, достаточно показать, что произведение ее крайних членов ad равно произведению ее средних членов bc. Так мы поступим и в данном случае. Покажем, что (1 — sin α) (1+ sin α) = cos α • cos α. Действительно, (1 — sin α) (1 + sin α) = 1 —sin2 α = cos2 α.

Изучи самостоятельно п.26 по учебнику Алгебра 10-11 автор Алимов стр.139-140.

4. Составь краткий конспект.

5. Реши самостоятельно задачи № 465(1,2),468(1).