Общие сведения об итерационных методах или методе простой итерации

30.04.2020

«Основы программирования: ЯП С/С++/С#»

Год обучения

Индивидуальная работа

Тема: Метод Якоби

Цель: познакомиться с методом Якоби

Задачи обучающие:

· познакомиться с методом Якоби при решении системы уравнений

· реализация очереди средствами С#;

· систематизировать знания обучающихся по данной теме;

· закрепить знания, полученные на предыдущих уроках;

Задачи развивающие:

· развивать умения использовать знания, полученные на уроках информатики, в учебной деятельности;

· развивать логическое мышление, умение обобщать, сопоставлять и применять полученные знания на практике;

· развивать познавательную деятельность обучающихся, развивать умение анализировать происходящие изменения в решении задач;

· развивать познавательный интерес, творческую активность, интеллект;

· развивать интуицию, эрудицию, самостоятельность в суждениях, упорство в достижении цели;

· формирование информационной культуры и потребности приобретения знаний;

· стимулирование познавательного интереса обучающихся по данной теме и дисциплине Информатика и ИКТ в целом.

Задачи воспитательные:

· воспитание творческого подхода к работе, желания экспериментировать;

· профессиональная ориентация и подготовка к трудовой деятельности;

· воспитание информационной культуры, самостоятельности, ответственности;

· развивать культуру общения, воспитывать внимание, сообразительность, находчивость.

ХОД УРОКА

Теория

Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений

https://zaochnik.com/spravochnik/matematika/issledovanie-slau/iteratsionnye-metody-reshenija-slau/

Общие сведения об итерационных методах или методе простой итерации

Определение 1

Метод итерации — это численный и приближенный метод решения СЛАУ.

Суть: нахождение по приближённому значению величины следующего приближения, которое является более точным. Метод позволяет получить значения корней системы с заданной точностью в виде предела последовательности некоторых векторов (итерационный процесс). Характер сходимости и сам факт сходимости метода зависит от выбора начального приближения корня x₀.

Пример 1

Рассмотрим систему

Чтобы применить итерационный метод, необходимо привести систему к эквивалентному виду . Затем выбираем начальное приближение к решению СЛАУ  и находим последовательность приближений к корню.

Для сходимости итерационного процесса является достаточным заданное условие || В ||<1. Окончание итерации зависит от того, какой итерационный метод применили.

Метод Якоби

Определение 2

Метод Якоби — один из наиболее простых методов приведения системы матрицы к виду, удобному для итерации: из 1-го уравнения матрицы выражаем неизвестное x₁, из 2-го выражаем неизвестное x₂ и т.д.

Результатом служит матрица В, в которой на главной диагонали находятся нулевые элементы, а все остальные вычисляются по формуле:

Элементы (компоненты) вектора d вычисляются по следующей формуле:

Расчетная формула метода простой итерации:

Матричная запись (координатная):

Критерий окончания в методе Якоби:

В случае если , то можно применить более простой критерий окончания итераций:

Пример 2

Решить СЛАУ методом Якоби:

Как решить?

Необходимо решить систему с показателем точности .

Приводим СЛАУ к удобному виду для итерации:

Выбираем начальное приближение, например: – вектор правой части.

В таком случае, первая итерация имеет следующий внешний вид:

Аналогичным способом вычисляются приближения к решению:

Находим норму матрицы В, для этого используем норму .

Поскольку сумма модулей элементов в каждой строке равна 0,2, то
, поэтому можно вычислить критерий окончания итерации:

Далее вычисляем нормы разности векторов:

Поскольку , то можно считать, что мы достигли заданной точности на 4-ой итерации.

Ответ:

 

 

2. Задание: запрограммируйте метод Якоби.