Свойства и признаки вписанного четырехугольника

ИСП-195 (за 30.04)

Лекционное занятие по теме: «Вычисление углов с вершиной внутри и вне круга, угла между хордой и касательной. Теорема о произведении отрезков хорд. Теорема о касательной и секущей. Теорема о сумме квадратов сторон и диагоналей параллелограмма. Вписанные и описанные многоугольники. Свойства и признаки вписанных и описанных четырехугольников».

 

Угол между хордой и касательной

Теорема

Угол между хордой и касательной к окружности, проведённой через конец хорды, равен половине дуги, лежащей внутри этого угла.

Дано:

окр. (O; R), AB — хорда, BC — касательная

Доказать:

Доказательство:

1) Соединим центр окружности с концами хорды.

Треугольник OAB — равнобедренный с основанием AB (так как OA=OB как радиусы).

Следовательно, ∠OBA=∠OAB (как углы при основании).

По теореме о сумме углов треугольника, ∠OBA+∠OAB+∠AOB=180º. Значит,

2) ∠OBC=90º (по свойству касательной).

∠ABC=∠OBC-∠OBA

3) Градусная мера дуги AB равна градусной мере центрального угла AOB.

отсюда

Что и требовалось доказать.

Задача

Треугольник ABC вписан в окружность. Через вершину B проведена касательная к окружности, а из точки A на касательную опущен перпендикуляр AF. Найти ∠ACB, если ∠FAB=27º.

Дано: ∆ABC, окр. (O; R) — описанная,

BF — касательная,

∠FAB=27º

Найти: ∠AСB

Решение:

1) Рассмотрим ∆ABF. ∠AFB=90º. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то ∠ABF=90º-∠FAB=90-27=63º.

2) ∠ABF — угол между касательной BF и хордой AB. Значит, он равен половине дуги AB:

3) ∠AСB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Следовательно он также равен её половине:

Отсюда, ∠AСB=∠ABF=63º.

Ответ: 63º.

Описанная окружность четырехугольника.

Вписанный четырехугольник

Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого принадлежат данной окружности. Окружность называют описанной. Центр окружности, описанной около четырехугольника, — точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных ко всем его сторонам.

Свойства и признаки вписанного четырехугольника

Свойства описанной окружности четырехугольника:

1. Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противолежащих углов равна 180°.

2. Теорема Птолемея. Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противолежащих сторон.

Признак вписанного четырехугольника:
Если сумма противолежащих углов четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.