Задача №2. Задача о влиянии ледникового периода на геотерму

Примеры нестационарных задач

В данной лекции рассматриваются примеры нестационарных зада, т.е. задачи, которые подразумевают решение нестационарного уравнения теплопроводности.

Нестационарные задачи это особый вид задач, которые не решаются простым интегрирование, т.к. помимо переменных по координате есть переменная по времени.

В данном разделе мы не будем рассматривать методы решения задач. Основная цель научиться делать правильную математическую постанову задачи (т.е. запись правильных уравнений и граничных условий).

 

Задача №1. Моделирование геотермического распределения с учетом переменной температуры на поверхности Земли

 

Рассмотрим более общий случай, когда температура на поверхности Земли изменяется во времени, т.е. случай когда температура на поверхности Земли представлена какой-то зависимостью от времени φ(t).

Рис. 3.4 Начальное распределение температуры среды

Допущения: Земля – однородное полупространство. Одномерный теплоперенос путем теплопроводности. Распределенных источников тепла нет.

Тогда математическая постановка задачи имеет вид:

,                                 (3.36)

здесь T_Г=T₀+Гz.

Данная задача решается аналитически. Сначала введем новую функцию u (z,t)= T (z,t)- T_Г (z), величину нарушения геотермы.

Постановка задачи для u (z,t) принимает вид

 

,                                 (3.37)

здесь ψ (t) =φ (t)- T₀.

Для решения используем теорему Дьюамеля. Если нам известно решение Ф (z,t) задачи (3.37) для u (z=0)=1, то решение задачи (3.37) для u (z=0)= ψ (t) по теореме Дьюамеля будет

 

.                (3.38)

 

Поскольку

 

,                               (3.39)

то

 

.             (3.40)

 

Возвращаясь к T (z,t) имеем для температуры среды при переменной температуре на поверхности

 

.                        (3.41)

Задача №2. Задача о влиянии ледникового периода на геотерму

 

Последний ледниковый период начался 13 тыс. лет назад и длился 7 тыс. лет. В ледниковый период температура поверхности Земли охладилась на 20 градусов.

 

Рис. 3.5. Геотерма в конце ледникового период

 

В результате длительно поддержания низкой температуры на поверхности Земли геотерма нарушилась для z > 0.

При оценке последствий последнего ледникового периода на распределении температуры в недрах Земли нас интересует промежуток времени после окончания ледникового периода (если момент окончания последнего ледникового периода обозначить, как θ, то нас интересует время t > θ)

Согласно (3.40) нарушение геотермы в конце ледникового периода

 

                (3.42)

Для t > θ задача решается аналитически. Для этого воспользуемся формулой (3.41). Решим методом линейной суперпозиции.

Предположим, что на поверхности и для t >θ поддерживается температура T₀-ΔT, а поскольку для t > θ температура поверхности вернулась к прежнему значению T₀ добавим новую температуру поверхности T₀+ΔT. Таким образом, для t > θ будем считать, что на поверхности Земли продолжается поддерживаться старая температура ΔT ниже и с момента t = θ начинается поддерживаться новая температура на ΔT выше. В сумме они дают возврат к температуре T₀.

Решение имеет вид

 

.   (3.43)

 

Используя (3.43) можно оценить последствия последнего ледникового периода на распределение температуры в недрах Земли в настоящее время.

Схематически распределение температуры согласно (3.43) имеет вид

Рис. 3.6. Нарушенная геотерма

 

На глубине z_max должна наблюдаться максимальная величина нарушения геотермы u_max.