Касательная, хорда, секущая, радиус

Задание 17 № 90

Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 6. При этом угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности.

Решение.

Рассмотрим треугольник AOB: он равнобедренный, его боковые стороны равны радиусу.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Пусть AOB равен x, тогда x + 60° + 60° = 180°, где x = 60°. Треугольник, у которого все углы равны, — равносторонний треугольник; значит, радиус равен 6.

Ответ: 6.

Задание 17 № 142

В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла OAB.

Решение.

Вписанные углы ВСD и ВАD опираются на одну и ту же дугу окружности, поэтому они равны. Тем самым, угол OAB = 30°.

Ответ: 30.

Задание 17 № 311319

Найдите градусную меру центрального ∠ MON, если известно, NP — диаметр, а градусная мера ∠ MNP равна 18°.

Решение.

Треугольник MON — равнобедренный. Тогда ∠ MON = 180° − 2·18° = 144°.

Ответ: 144.

Задание 17 № 311331

Найдите ∠ DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны 150° и 68° соответственно.

Решение.

Дуга FD, не содержащая точку Е, равна 360° − 150° − 68° = 142°, поэтому ∠ DEF = 71°.

Ответ: 71.

Задание 17 № 311354

Найдите градусную меру ∠ACB, если известно, что BC является диаметром окружности, а градусная мера центрального ∠AOC равна 96°.

Решение.

Так как ∠ AOC и ∠ AOB — смежные, ∠ AOB = 84°. Центральный угол равен дуге на которую он опирается, поэтому градусная мера дуги AB равна 84°. Угол ACB — вписанный и равен половине дуги, на которую опирается, поэтому ∠ ACB = 42°.

Ответ: 42.

Задание 17 № 311398

В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Угол ACB равен 26°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол ACB — вписанный, равен половине центрального угла, опирающийся на ту же дугу, то есть AОВ = 52°. Угол ВОD — развернутый, поэтому угол AOD равен 180° − 52° = 128°.

Ответ: 128.

Задание 17 № 311479

Прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см вписан в окружность. Чему равен радиус этой окружности?

Решение.

Пусть R — радиус описанной окружности. Так как окружность описана вокруг прямоугольного треугольника, то ее центр лежит на середине гипотенузы. Таким образом, гипотенуза равна 2 R.

По теореме Пифагора имеем:

Ответ: 6,5.

Задание 17 № 311483

Точки A и B делят окружность на две дуги, длины которых относятся как 9:11. Найдите величину центрального угла, опирающегося на меньшую из дуг. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Дуги окружности относятся как 9:11, что в сумме дает 20 частей. Поэтому длина меньшей дуги составляет от всей окружности, тем самым, она равна . Так как угол AOB — центральный, то он равен той дуге на которую он опирается. Таким образом, .

Ответ: 162.

Задание 17 № 311510

В угол величиной 70° вписана окружность, которая касается его сторон в точках A и B. На одной из дуг этой окружности выбрали точку C так, как показано на рисунке. Найдите величину угла ACB.

Решение.

Угол ACB — вписанный, он равен половине дуги AB. Угол АОВ — центральный, опирающийся на ту же дугу. Проведём радиусы ОА и ОВ в точки касания. Сумма углов четырёхугольника AOBD равна 360°. Поэтому

Ответ: 55.

Задание 17 № 311517

Величина центрального угла AOD равна 110°. Найдите величину вписанного угла ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол AOB смежный с углом AOD, поэтому AOB = 180° − 110° = 70°. Центральный угол AOB и вписанный угол ACB опираются на одну дугу. Поэтому

Ответ: 35.

Задание 17 № 311523

Точки A, B, C и D лежат на одной окружности так, что хорды AB и СD взаимно перпендикулярны, а ∠ BDC = 25°. Найдите величину угла ACD.

Решение.

Треугольник BOD — прямоугольный, сумма его острых углов равна 90°. Поэтому ∠ ABD = ∠ OBD = 90° − 25° = 65°. Углы ABD и ACD опираются на одну дугу, поэтому эти углы равны. Таким образом, ∠ ACD = 65°.

Ответ: 65.

Задание 17 № 311956

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 48°.

Решение.

Угол AOB является центральным углом, ACB — вписанным. Оба угла опираются на одну и ту же дугу, следовательно, угол AOB в два раза больше угла ACB. Тем самым, он равен 24°.

Ответ: 24.

Задание 17 № 314811

Точка О — центр окружности, ∠ AOB = 84° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB (в градусах).

Решение.

Вписанный угол ACB равен половине центрального угла AOB, опирающегося на ту же дугу, поэтому он равен 42°.

Ответ: 42.

Задание 17 № 333117

На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что Длина меньшей дуги AB равна 63. Найдите длину большей дуги.

Решение.

Пусть длина большей дуги равна Длина дуги прямо пропорциональна её градусной мере, поэтому имеет место отношение:

Ответ: 747.

Задание 17 № 339419

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠ NBA = 38°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол NBA — вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую он опирается. Следовательно, дуга AN = 2∠ NBA = 2 · 38° = 76°. Диаметр AB делит окружность на две равные части, поэтому величина дуги ANB равна 180°. Откуда дуга NB = 180° − 76° = 104°. Угол NMB — вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую он опирается, то есть равен 104°/2 = 52°.

Ответ: 52.

Задание 17 № 339429

Точка O – центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ ABC = 15° и ∠ OAB = 8°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Проведём радиус OB. Рассмотрим треугольник AOB: AO = OB, следовательно, углы ∠ OAB = ∠ ABO = 8°. Рассмотрим треугольник BOC: BO = OC, следовательно, ∠ BCO = ∠ OBC = ∠ ABC − ∠ ABO = 15° − 8° = 7°.

Ответ: 7.

Задание 17 № 340116

AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 79°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол ACB — вписанный, опирается на дугу AB, поэтому он равен половине дуги AB, то есть величина дуги AB равна 2 · 79° = 158°. Поскольку BD — диаметр, градусная мера дуги BAD равна 180°. Градусная мера дуги AD равна разности градусных мер дуг BAD и AB: 180° − 158° = 22°. Угол AOD — центральный, поэтому он равен дуге, на которую опирается, следовательно, он равен 22°.

Ответ: 22.

Задание 17 № 340229

В угол C величиной 83° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания, поэтому углы CAO и OBC равны 90°. Сумма углов четырёхугольника равна 360°, откуда:

∠ AOB = 360° −∠ CAO − ∠ OBC − ∠ ACB = 360° − 90° − 90° − 83° = 97°.

Ответ: 97.

Задание 17 № 341355

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 115°.

Решение.

Угол ACB − вписанный угол, он равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Т. е.

Ответ: 57,5.

Задание 17 № 341673

Сторона AC треугольника ABC содержит центр описанной около него окружности. Найдите , если . Ответ дайте в градусах.

Решение.

Так как AC — диаметр окружности, то дуга AC равна сумме дуг AB и BC и равна 180°. А так как углы ACB и BAC — вписанные и опираются на эти дуги, то их сумма равна , а значит,

Ответ: 15.

Задание 17 № 348379

Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 30°. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Известно, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой. Таким образом, угол равен 90°. Таким образом:

Ответ: 60

Задание 17 № 348493

На окружности с центром в точке отмечены точки и так, что . Длина меньшей дуги равна 50. Найдите длину большей дуги .

Решение.

Ответ: 400

Задание 17 № 348543

Центр окружности, описанной около треугольника , лежит на стороне . Найдите угол , если угол равен 44°. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Ответ: 46

Задание 17 № 348670

В угол величиной 157° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках и , точка — центр окружности. Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение.

∠ AOB = 360° −∠ CAO − ∠ OBC − ∠ ACB = 360° − 90° − 90° − 157° = 23°.

Ответ: 23.

Задание 17 № 348698

На окружности с центром в точке отмечены точки и так, что . Длина меньшей дуги равна 5. Найдите длину большей дуги .

Решение.

Ответ: 95.

Задание 17 № 348800

На окружности с центром в точке отмечены точки и так, что . Длина меньшей дуги равна 61. Найдите длину большей дуги .

Решение.

Ответ: 119.

Задание 17 № 348961

Центр окружности, описанной около треугольника , лежит на стороне . Радиус окружности равен 6,5. Найдите , если

Решение.

Известно, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой. Таким образом, угол - прямой. Тогда по теореме Пифагора найдем :

Ответ: 5.

Задание 17 № 348970

Центр окружности, описанной около треугольника , лежит на стороне . Радиус окружности равен 8,5. Найдите , если .

Решение.

Известно, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой. Таким образом, угол — прямой, и данный треугольник является прямоугольным. По теореме Пифагора получаем :

Ответ: 15

Задание 17 № 349063

В угол C величиной 72° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B, точка O - центр окружности. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Решение.

∠ AOB = 360° −∠ CAO − ∠ OBC − ∠ ACB = 360° − 90° − 90° − 72° = 108°.

Ответ: 108.

Задание 17 № 349182

На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что Длина меньшей дуги AB равна 98. Найдите длину большей дуги.

Решение.

Ответ: 1862.

Задание 17 № 349186

На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что Длина меньшей дуги AB равна 58. Найдите длину большей дуги.

Решение.

Ответ: 203.

Задание 17 № 349187

В угол C величиной 90° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B, точка O - центр окружности. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Решение.

∠ AOB = 360° −∠ CAO − ∠ OBC − ∠ ACB = 360° − 90° − 90° − 90° = 90°.

Ответ: 90.

Задание 17 № 349314

AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 36°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол ACB — вписанный, опирается на дугу AB, поэтому он равен половине дуги AB, то есть величина дуги AB равна 2 · 36° = 72°. Поскольку BD — диаметр, градусная мера дуги BAD равна 180°. Градусная мера дуги AD равна разности градусных мер дуг BAD и AB: 180° − 72° = 108°. Угол AOD — центральный, поэтому он равен дуге, на которую опирается, следовательно, он равен 108°.

Ответ: 108.

Задание 17 № 349337

AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 23°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол ACB — вписанный, опирается на дугу AB, поэтому он равен половине дуги AB, то есть величина дуги AB равна 2 · 23° = 46°. Поскольку BD — диаметр, градусная мера дуги BAD равна 180°. Градусная мера дуги AD равна разности градусных мер дуг BAD и AB: 180° − 46° = 134°. Угол AOD — центральный, поэтому он равен дуге, на которую опирается, следовательно, он равен 134°.

Ответ: 134.

Задание 17 № 349453

В угол C величиной 62° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B, точка O — центр окружности. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Решение.

∠ AOB = 360° −∠ CAO − ∠ OBC − ∠ ACB = 360° − 90° − 90° − 62° = 118°.

Ответ: 118.

Задание 17 № 349477

Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 33°. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Ответ: 57

Задание 17 № 349653

На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что Длина меньшей дуги AB равна 57. Найдите длину большей дуги.

Решение.

Ответ: 303.

Задание 17 № 349658

AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 54°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол ACB — вписанный, опирается на дугу AB, поэтому он равен половине дуги AB, то есть величина дуги AB равна 2 · 54° = 108°. Поскольку BD — диаметр, градусная мера дуги BAD равна 180°. Градусная мера дуги AD равна разности градусных мер дуг BAD и AB: 180° − 108° = 72°. Угол AOD — центральный, поэтому он равен дуге, на которую опирается, следовательно, он равен 72°.

Ответ: 72.

Задание 17 № 349689

На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что Длина меньшей дуги AB равна 67. Найдите длину большей дуги.

Решение.

Ответ: 134.

Задание 17 № 349756

Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 9°. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Ответ: 81

Задание 17 № 349843

AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 19°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол ACB — вписанный, опирается на дугу AB, поэтому он равен половине дуги AB, то есть величина дуги AB равна 2 · 19° = 38°. Поскольку BD — диаметр, градусная мера дуги BAD равна 180°. Градусная мера дуги AD равна разности градусных мер дуг BAD и AB: 180° − 38° = 142°. Угол AOD — центральный, поэтому он равен дуге, на которую опирается, следовательно, он равен 142°.

Ответ: 142.

Задание 17 № 349866

AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 78°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол ACB — вписанный, опирается на дугу AB, поэтому он равен половине дуги AB, то есть величина дуги AB равна 2 · 78° = 156°. Поскольку BD — диаметр, градусная мера дуги BAD равна 180°. Градусная мера дуги AD равна разности градусных мер дуг BAD и AB: 180° − 156° = 24°. Угол AOD — центральный, поэтому он равен дуге, на которую опирается, следовательно, он равен 24°.

Ответ: 24.

Задание 17 № 349952

Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 24°. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Ответ: 66

Задание 17 № 349998

В угол C величиной 71° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B, точка O - центр окружности. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Решение.

∠ AOB = 360° −∠ CAO − ∠ OBC − ∠ ACB = 360° − 90° − 90° − 71° = 109°.

Ответ: 109.

Касательная, хорда, секущая, радиус

1. Радиус OB окружности с центром в точке O пересекает хорду AC в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды AC, если BD = 1 см, а радиус окружности равен 5 см.

Решение.

Найдем отрезок DO: DO = OB − BD = 5 − 1 = 4. Так как OB перпендикулярен AC, треугольник AOD — прямоугольный. По теореме Пифагора имеем: . Треугольник AOC — равнобедренный так как AO = OC = r, тогда AD = DC. Таким образом, AC = AD ·2 = 6.

Ответ: 6.

Найдите величину (в градусах) вписанного угла α, опирающегося на хорду AB, равную радиусу окружности.

Решение.

Проведем радиусы OA и OB. Так как по условию задачи хорда AB равна радиусу, то треугольник AOB — равносторонний, следовательно, все его углы равны 60°. Угол AOB — центральный и равен 60° Угол ACB — вписанный и опирается на ту же дугу, что и угол AOB. Таким образом,

Ответ: 30.

3. К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 12 см, AO = 13 см.

Решение.

Соединим отрезком точки O и B; полученный отрезок — радиус, проведённый в точку касания, поэтому OB перпендикулярен AB. Задача сводится к нахождению катета OB прямоугольного треугольника AOB. Из теоремы Пифагора:

Ответ: 5.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 30, BC = Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение.

Вписанный прямой угол опирается на диаметр окружности, поэтому радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы. По теореме Пифагора имеем:

Ответ: 17,5.

5. Длина хорды окружности равна 72, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 27. Найдите диаметр окружности.

Решение.

Проведём построение и введём обозначения, как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, — общая, и равны как радиусы окружности, следовательно, эти треугольники равны, откуда По теореме Пифагора найдём радиус окружности:

Диаметр равен двум радиусам, следовательно,

Ответ: 90.

6. Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 14.

Решение.

Пусть первая дуга имеет градусную меру тогда вторая дуга имеет градусную меру а третья — Три дуги в сумме составляют окружность, поэтому получаем:

Поэтому меньшая дуга окружности равна Угол треугольника, опирающийся на эту дугу является вписанным, поэтому он равен половине дуги: Меньший угол треугольника лежит против меньшей стороны. Найдём радиус описанной окружности:

Ответ: 14.

Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 83°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Угол, образованный хордой и касательной равен половине дуги, которую он заключает, поэтому величина дуги MK равна 2 · 83° = 166°. Угол MOK — центральный, поэтому он равен величине дуги, на которую опирается. Значит, угол MOK равен 166°. В треугольнике OMK стороны OK и OM равны как радиусы окружности, поэтому треугольник OMK — равнобедренный, следовательно, углы при основании равны. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠ OKM = ∠ OMK = (180° − ∠ KOM)/2 = (180° − 166°)/2 = 7°.