Решение уравнений и систем

В ML существуют средства для решения уравнений численными методами. Кроме того, есть возможность решать уравнения в символьном виде. Функция solve (expr, var) возвращает решение уравнения, задаваемого выражением expr относительно переменной var. Ищутся корни уравнения или нули выражения.

>> syms a b c x

% Решается уравнение a*x^2+b*x+c=0 отн. х

>> y=solve (a*x^2+b*x+c, x)

y =

 -(b + (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)

 -(b - (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)

>> pretty(y)

+-                  -+

|   2          1/2 |

| b + (b - 4 a c) |

| - ------------------- |

|       2 a     |

|                    |

|     2    1/2 |

| b - (b - 4 a c) |

| - ------------------- |

|       2 a     |

+-                  -+

Если второй параметр не указан, то по умолчанию уравнение решается относительно х.

>> y=solve ('a*x^2+b*x+c=0')

y =

 -(b + (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)

 -(b - (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)

Видим, что уравнение решается в общем виде.

Пусть задан полином, найдем корни полинома 3*x⁴+2*x³-x²-15*x+7 в числовом и символьном виде:

%выч. корн.пол 3*x^4+2*x^3-x^2-15*x+7

p=[3 2 -1 -15 7];

Disp('корни пол')

x=roots(p)

Disp('символьные вычисления ')

Disp('корни полинома ')

Syms x

z=solve(3*x^4+2*x^3-x^2-15*x+7)

zs=vpa(z)

Получим на экране:

корни пол

x =

-1.2505 + 1.4296i

-1.2505 - 1.4296i

1.3581         

0.4762         

символьные вычисления

корни полинома

z =

                                    1.3581107410504754041265449373916

                                    0.4762357236114296167745354966965

1.4296306305875367633296037188572*i - 1.2505065656642858437838735503774

 - 1.4296306305875367633296037188572*i - 1.2505065656642858437838735503774

zs =

                                    1.3581107410504754041265449373916

                                    0.4762357236114296167745354966965

1.4296306305875367633296037188572*i - 1.2505065656642858437838735503774

 - 1.4296306305875367633296037188572*i - 1.2505065656642858437838735503774

>> solve (2*x^3-x-1)

ans =

      1

i/2 - 1/2

 - i/2 - 1/2

Так же просто решаются системы уравнений. Решаемые уравнения указывают параметрами функции solve(), также можно явно указать переменные, относительно которых решается система. Например, решим систему уравнений

x^2+y^2=25

y-x=1

>> syms x y

>> [x y]=solve ('x^2+y^2=25', 'y-x=1', x, y)

x =

3

 -4

 y =

4

 -3

У системы 2 решения: х=3, у=4 и х=-4, у=-3.

Можно в общем виде решить систему линейных уравнений

a₁*x₁+b₁*x₂=c₁

a₂*x₁+b₂*x₂=c₂

>> [x1, x2]=solve('a1*x1+b1*x2=c1','a2*x1+b2*x2=c2')

x1 =

 (-b2*c1+c2*b1)/(-a1*b2+b1*a2)

x2 =

-(a1*c2-c1*a2)/(-a1*b2+b1*a2)

Решение дифференциальных уравнений и систем

Получить символьное решение дифференциального уравнения в ML проще, чем получить решение численными методами. Оно может быть найдено с помощью функции dsolve (expr, cond, var), в которой выражение expr описывает обыкновенное дифференциальное уравнение, cond – начальное условие, var – независимая переменная (её имя не должно начинаться с D). Если она не задана, то по умолчанию независимой переменной считается t.

Существуют правила записи дифференциального уравнения. Для обозначения операции дифференцирования используется символ D. Производная n- го порядка указывается как Dn, т.е. D = dy / dt, a D2 = d² y / dt².

Решим уравнение dy / dx=(y+1)/ x

Если не указывается начальные условия, то результат будет содержать неопределенные константы (постоянные) интегрирования, которые обозначаются C1, C2…

>> dsolve ('Dy=(y+1)/ x', 'x')

ans =

C2* x – 1 % С2 – постоянная интегрирования

Решим уравнение t*(1+t^2)*dx/dt = x+x*t^2-t^2 с начальным условием
  x(1) =- pi/4

>> dsolve('t*(1+t^2)*Dx=x+x*t^2-t^2', 'x(1) =-pi/4')

ans =

-t* atan (t)

Решим уравнение 5y(x)+xy'(x)=x^2y(x), y(0)=2

%диф ур 5y(x)+xy'(x)=x^2y(x), y(0)=2

disp('решение диф ур')

dsolve('5*y+x*Dy=x62*y','y(0)=2')

Получим:

решение диф ур

ans =

2*exp((t*(x62 - 5))/x)

 

В случае уравнения второго порядка 4y''+16y'+15y=4e^-3x/2 при начальных условиях у(0)=3, y’(0)=-5.5 (количество начальных условий соответствует порядку уравнения).

>> dsolve ('4*D2y+16*Dy+15*y=4*exp(-3*x/2)','y(0)=3','Dy(0)=-5.5','x')

ans =

2/exp((3*x)/2) + 2/exp((5*x)/2) + x/exp((3*x)/2) - exp(x)/exp((5*x)/2)

Можно получить в другом виде (числовом):

Vpa(ans,4)

ans =

2.0/exp(1.5*x) + 2.0/exp(2.5*x) - (1.0*exp(x))/exp(2.5*x) + x/exp(1.5*x)

Для решения системы дифференциальных уравнений в параметрах функции dsolve () указывают несколько уравнений и несколько начальных условий. Найдем решение системы x'=x+2y, y'=3x-4y с начальными условиями х(0)=1 и у(0)=2.

>> [x y]=dsolve('Dx=x+2*y','Dy=3*x-4*y','x(0)=1','y(0)=2')

x =

(10*exp (2*t)) / 7 – 3 / (7*exp (5*t))

 y =

(5*exp (2*t)) / 7 + 9 / (7*exp (5*t))

Вычисление пределов

Число b называется пределом последовательности у₁, у₂, …у_n, …, если по мере возрастания номера n член у_n неограниченно приближается к b. Предел обозначается .

Для нахождения предела символьного выражения fun в точке х, стремящейся к а предусмотрена функция limit (fun, x, a).

Fun – символьная функция, х - переменная, a - точка, в которой ищется предел.

Например, предел функции (х-1)/(х+5)

Надо задать символьную переменную

>> syms x

Построим график

>> f=(x-1)/(x+5)

f =

 (x-1)/(x+5)

>> ezplot(f,-10,10)

>> grid

В качестве точки предела используем inf (бесконечность)

>> limit (f, x, inf)       % Предел при

ans =

1

>> limit (f, x,-inf)     % Предел при

ans =

1

>> limit (f, x, -5)       % Предел при

ans =

NaN

>> limit (f, x, 5)    % Предел при

ans =

2/5