Таблица основных интегралов
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Интегрирование и дифференцирование – взаимно обратные операции.
Свойства неопределенного интеграла
Если y = f (x), y = F (x), y = g (x) – некоторые функции, то:
1)
2)
3)
Некоторые методы интегрирования
Непосредственное интегрирование
Метод непосредственного интегрирования связан с приведением подынтегрального выражения к табличной форме путем преобразований и применения свойств неопределённого интеграла.
Примеры
1) Вычислить: .
Решение:
2) Вычислить: .
Решение:
3) Вычислить: .
Решение:
Интегрирование методом замены переменной (метод подстановки)
Часто бывает так, что предлагаемый для вычисления интеграл не содержится в таблице интегралов и не сводится к табличным интегралам. Тогда применяются другие методы интегрирования, одним из которых является метод замены переменной.
|
|
Пусть имеет место неопределенный интеграл , где подынтегральная функция непрерывна. Применив подстановку и вычислив дифференциал , получим – формулу замены переменной в неопределённом интеграле.
Сложность применения метода замены переменной заключается в том, что метод не даёт инструкции о том, какую замену требуется применить в том или другом случае для того, чтобы свести данный интеграл к табличному.
Пример
Вычислить интеграл .
Решение: Обозначим . Дифференцируя обе части этого выражения, найдём, чему равно dx, т.е. . Тогда
.
Пример
Вычислить интеграл .
Решение:
Выделим в знаменателе подынтегрального выражения полный квадрат, получим
, тогда
.
Пример
Вычислить интеграл .
Решение: = =
Интегрирование по частям
Формула интегрирования по частям имеет вид:
,
где и – дифференцируемые функции.
В ряде случаев она позволяет свести предлагаемый для вычисления интеграл к более простому, возможно, к табличному. При этом необходимо знать, что интегралы, вычисляемые данным методом, разделяются на две группы.
I группа
Если имеем интегралы вида: , , , , то за функцию принимаем многочлен , за – оставшееся выражение.
II группа
Если имеем интегралы вида: , , , , то , а за функцию принимаем оставшуюся функцию , , , , . В частном случае , тогда .
Пример
Вычислить интеграл .
Решение: Так как данный интеграл относится к группе I, то имеем в предлагаемом интеграле ; тогда , , . Из всей совокупности полученных функций выберем какую-нибудь одну; пусть, например, С = 0. Тогда
|
|
.
Пример
Вычислить интеграл .
Решение: Так как данный интеграл относится к группе II, то , тогда , , . Из всей совокупности полученных функций выберем какую-нибудь одну; пусть, например, С = 0. Тогда
.