Приведем таблицу неопределенных интегралов

Тема: Площадь криволинейной трапеции и интеграл.

Цели урока: дать определения криволинейной трапеции, ее площади и интеграла, научиться вычислять площадь криволинейной трапеции.

Личностные результаты: ответственное отношение к обучению, готовность и способность к саморазвитию и самообразованию на протяжении всей жизни;

Метапредметные результаты: умение самостоятельно определять цели своей деятельности, ставить и формулировать для себя новые задачи в обучении;

Предметные результаты: умение описывать явления реального мира на математическом языке; представление о математических понятиях и математических моделях как о важнейшем инструментарии, позволяющем описывать и изучать разные процессы и явления;

Типу: урок повторения

ХОД УРОКА

Организационный этап

Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.

Актуализация знаний.

Актуализировать субъективный опыт учащихся.

Вспомним основные понятия и формулы.

Определение. Функция y=f(x), x Î (a,b), называется первообразной для функции y=f(x), x Î (a,b), если для каждого x Î (a,b) выполняется равенство

F¢(x)=f(x).

Замечание. Если f(x) есть первообразная для функции f(x), то при любой константе С, F(x)+C также является первообразной для f(x).

Первичное усвоение новых знаний

Задача нахождения всех первообразных функции f(x) называется интегрированием, а множество всех первообразных называется неопределенным интегралом для функции f(x) по dx и обозначается

Имеют место свойства:

1°. ;

2°. Если С= Const, то ;

3°. .

Замечание. В школьном курсе математики не употребляется термин «неопределенный интеграл», вместо этого говорят «множество всех первообразных».

Приведем таблицу неопределенных интегралов.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ; в частности, ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

Пример 1. Найти первообразную для функции , проходящую через точку М (2;4).

Решение. Множество всех первообразных функции есть неопределенный интеграл . Вычислим его, используя свойства интеграла 1° и 2°. Имеем:

Получили, что множество всех первообразных задается семейством функций y=F(x)+C, то есть y=x³– 2 x+C, где С – произвольная постоянная.

Зная, что первообразная проходит через точку М (2;4), подставим ее координаты в предыдущее выражение и найдем С.

4=2³–2×2+ С Û С =4–8+4; С =0.

Ответ: F(x)=x³- 2 x – искомая первообразная.

Нахождение площадей плоских фигур Фигура ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной функции , осью абсцисс и прямыми называется криволинейной трапецией. Отрезок [a; b] называют основанием криволинейной трапеции

Задача нахождения площади плоской фигуры тесно связана с задачей нахождения первообразных (интегрированием). А именно: площадь криволинейной трапеции ограниченной графиком функции y=f(x) (f(x)> 0) прямыми x=a; x=b; y= 0, равна разности значений первообразной для функции y=f(x) в точках b и a:

S=F(b)–F(a)

Дадим определение определенного интеграла.

Определение. Пусть функция y=f(x) определена и интегрируема на отрезке [ a,b ] и пусть F(x) – некоторая ее первообразная. Тогда число F(b)–F(a) называется интегралом от а до b функции f(x) и обозначается

Равенство называется формулой Ньютона–Лейбница.

Эта формула связывает задачу нахождения площади плоской фигуры с интегралом.

Пример 1.Вычислить определённый интеграл:

Переходим к вычислению площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Кроме умения вычислять определенный интеграл, нам нужно вспомнить свойства площадей. В чем они заключаются? · Равные фигуры имеют равные площади. · Если фигура разбита на две части, то её площадь находится как сумма площадей отдельных частей. Пример 2.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями