Задача. Длина вектора

Математика 11 класс

Урок 16 - 18

Простейшие задачи в координатах

 Нахождение координат середины отрезка

Дано: ; , – се­ре­ди­на . Найти: .

Ре­ше­ние: Обо­зна­чим в про­стран­стве точки и – се­ре­ди­ну от­рез­ка . (См. Рис. 1.)

Рис. 1. Ввели систему координат

Век­тор яв­ля­ет­ся по­ло­ви­ной суммы век­то­ров и , по­то­му что – это по­ло­ви­на диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма, по­стро­ен­но­го на век­то­рах и . (См. Рис. 2.)

Рис. 2. Использование правила параллелограмма

Так как и , и (по правилу параллелограмма),

то значит:

Осталось заметить, что координаты точки совпадают с координатами вектора , так как – начало координат. То есть .

Таким образом, координаты середины отрезка есть полусуммы соответствующих координат его концов.

Можно было действовать и иначе: . Координаты вектора мы знаем, значит, можем найти координаты вектора , а отсюда, зная координаты начала этого вектора находим координаты конца – .

Ответ: .

Задача (координаты точки на отрезке)

Пусть даны две точки: ; , точка делит отрезок в отношении от вершины . Найти: . (См. Рис. 3.)

Рис. 3. Иллюстрация к условию задачи

Решение

Если , то мы получаем тот самый случай, который мы уже разобрали, то есть деление в отношении или середину отрезка.

Как мы будем находить координаты точки ? Заметим, что векторы и сонаправлены. Значит, они отличаются в константу раз, причем эту константу мы знаем. Ведь на весь отрезок приходится частей, а на отрезок – частей.

Значит, вектор .

Так как , то .

Но тогда координаты точки находятся как сумма соответствующих координат вектора и точки . Найдем абсциссу, остальное – аналогично.

.

Значит, имеет координаты:

Разберем пример: , . Найти координаты точки , если . (См. Рис. 4.)

Рис. 4. Иллюстрация к примеру

Решение: по нашим формулам: С .

Ответ: .

Задача. Длина вектора

Пусть дан век­тор . Тогда: .

Доказательство

Чтобы вывести эту формулу, рассмотрим прямоугольный параллелепипед с измерениями , и . (См. Рис. 5.)

Рис. 5. Иллюстрация к доказательству

Тогда вектор , так как их координаты попарно равны. (См. Рис. 6.)

Рис. 6.

Значит, , где – диагональ параллелепипеда. Но диагональ прямоугольного параллелепипеда равна корню из суммы квадратов его измерений (по свойству): , что и требовалось доказать.

Коротко напомним: достаточно рассмотреть теоремы Пифагора для треугольника в основании параллелепипеда (таким образом найдем диагональ основания ) и затем для треугольника . (См. Рис. 7.)

Рис. 7. Как найти диагональ параллелепипеда

Следствие. Как вы помните, координаты вектора – это разность координат его конца и начала. То есть если ; , то . Тогда получим, что .