Определенный интеграл

РАЗДЕЛ 8. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

ТЕМА: Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции

Цель занятия: дать понятие криволинейной трапеции; научиться вычислять ее площадь.

Порядок выполнения работы:

1) Изучить теоретический материал, составить конспект в тетради;

2) В течение пары выполнить задания по материалу лекции (решить в тетради и выслать фотографии или документ преподавателю в социальной сети или на личную почту);

Контакты преподавателя: Arina_Kozlova96@mail.ru; https://vk.com/rina1996

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ

Определенный интеграл

Определённым интегралом от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [a, b] (где a ≠ b) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. При этом употребляется запись  .

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a, b] – отрезком интегрирования.

Площадь криволинейной трапеции

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей на отрезке [а;b] знака функции f(х), прямыми х=а, x=b и отрезком [а;b].

Отрезок [a;b] называют основанием этой криволинейной трапеции.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y=f (x), снизу — осью Ох, слева и справа прямыми х=a, x=b, находят по формуле Ньютона-Лейбница:

Если в задаче требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, то ответ всегда будет положительный. Если требуется, используя чертеж, вычислить интеграл, то его значение может быть любым (зависит от расположения криволинейной трапеции).

Рассмотрим примеры решения задач.

ПРИМЕР 1. Найти площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке.

Решение:

Для вычисления площади криволинейной трапеции воспользуемся формулой Ньютона – Лейбница.

Сначала находим первообразную функцию F(x). Далее подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: F(b).

Затем подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: F(а).

Рассчитываем разность F(b) - F(а), это и будет ответ.

ПРИМЕР 2. Найти площадь криволинейной трапеции (х-1)², ограниченной линиями х=2 и х=1, осью 0х.

  Решение:

Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница.

ПРИМЕР 3. Найти площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке.

 

Решение:

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

Задание 1. Найти площади криволинейных трапеций, изображенных на рисунке.

 1)

2)

3)

4)

Задание 2. Найти площадь криволинейной трапеции , ограниченной линиями х= -1 и х=2, осью 0х.