19.05.2020
Повторение. Функция y = kx²
Функция у = kx2, ее свойства и график
Повторить теоретический материал по данной теме
В 7-м классе мы изучали функции у = С, у = kx, у = kx + m, у = х2 и пришли в итоге к выводу о том, что уравнение с двумя переменными вида у = f(x) (функция) есть математическая модель, удобная для того, чтобы, задав конкретное значение независимой переменной х (аргумента), вычислить соответствующее значение зависимой переменной у. Например, если дана функция у = х2, т.е. f(x) = х2, то при х = 1 получаем у = 12 = 1; короче это записывают так: f(1) = 1. При х = 2 получаем f(2)= 22 = 4, т. е. у = 4; при х = - 3 получаем f(- 3) = (- З)2 = 9, т. е. у = 9, и т. д.
Уже в 7-м классе мы с вами начали понимать, что в равенстве у = f(х) правая часть, т.е. выражение f(x), не исчерпывается перечисленными выше четырьмя случаями (С, kx, kx + m, х2).
Так например, нам уже встречались кусочные функции, т. е. функции, заданные разными формулами на разных промежутках. Вот одна из таких функций:у = f(x), где
Помните, как строить графики таких функций? Сначала надо построить параболу у = х2 и взять ее часть при х < 0 (левая ветвь параболы, рис. 1), затем надо построить прямую у = 2х и взять ее часть при х > 0 (рис. 2). И, наконец, надо обе выделенные части объединить на одном рисунке, т. е. построить на одной координатной плоскости (см. рис. 3).
|
|
Теперь наша задача состоит в следующем: пополнить запас изученных функций. В реальной жизни встречаются процессы, описываемые различными математическими моделями вида у = f(x), не только теми, что мы перечислили выше. В этом параграфе мы рассмотрим функцию у = kx2, где коэффициент k — любое отличное от нуля число.
На самом деле функция у = kx2 в одном случае вам немного знакома. Смотрите: если k = 1, то получаем у = х2; эту функцию вы изучили в 7-м классе и, наверное, помните, что ее графиком является парабола (рис. 1). Обсудим, что происходит при других значениях коэффициента k.
Рассмотрим две функции: у = 2х2 и у = 0,5x2. Составим таблицу значений для первой функции у = 2х2:
Построим точки (0; 0), (1; 2), (-1; 2), (2; 8), (-2; 8), (1,5; 4,5), (-1,5; 4,5) на координатной плоскости (рис. 4); они намечают некоторую линию, проведем ее (рис. 5).
Составим таблицу значений для второй функции у = 0,5x2:
Построим точки (0; 0), (1; 0,5), (-1; 0,5), (2; 2), (-2; 2), C; 4,5), (-3; 4,5) на координатной плоскости (рис. 6); они намечают некоторую линию, проведем ее (рис. 7)
.
Точки, изображенные на рис. 4 и 6, называют иногда контрольными точками для графика соответствующей функции.
Сравните рисунки 1, 5 и 7. Не правда ли, проведенные линии похожи? Каждую из них называют параболой; при этом точку (0; 0) называют вершиной параболы, а ось у — осью симметрии параболы. От величины коэффициента k зависит «скорость устремления» ветвей параболы вверх или, как еще говорят, «степень крутизны» параболы. Это хорошо видно на рис. 8, где все три построенные выше параболы расположены на одной координатной плоскости.
|
|
Точно так же обстоит дело с любой другой функцией вида у = kx2, где k > 0. Графиком ее является парабола с вершиной в начале координат, ветви параболы направлены вверх, причем тем круче, чем больше коэффициент k. Ось у является осью симметрии параболы. Кстати, ради краткости речи математики часто вместо длинной фразы «парабола, служащая графиком функции у = kx2», говорят «парабола у = кх2», а вместо термина «ось симметрии параболы» используют термин «ось параболы».
Вы замечаете, что имеется аналогия с функцией у = kx? Если k > 0, то графиком функции у = kx является прямая, проходящая через начало координат (помните, мы говорили коротко:прямая у = kx), причем и здесь от величины коэффициента k зависит «степень крутизны» прямой. Это хорошо видно на рис. 9, где в одной системе координат изображены графики линейных функций у = kx при трех значениях коэффициента
Вернемся к функции у = kx2. Выясним, как обстоит дело в случае отрицательного коэффициента ft. Построим, например, график функции
у = - х2 (здесь k = - 1). Составим таблицу значении:
Отметим точки (0; 0), (1; -1), (-1; -1), (2; -4), (-2; -4), (3; -9), (- 3; - 9) на координатной плоскости (рис. 10); они намечают некоторую линию, проведем ее (рис. 11). Это — парабола с вершиной в точке (0; 0), ось у — ось симметрии, но в отличие от случая, когда k > 0, на этот раз ветви параболы направлены вниз. Аналогично обстоит дело и для других отрицательных значений коэффициента k.
Итак, графиком функции является парабола с вершиной в начале координат; ось у является осью параболы; ветви параболы направлены вверх приk>0 u вниз при k<0.
Отметим еще, что парабола у = kx2 касается оси х в точке (0; 0), т. е. одна ветвь параболы плавно переходит в другую, как бы прижимаясь к оси х.
Если построить в одной системе координат графики функций у = х2 и у = - х2, то нетрудно заметить, что эти параболы симметричны друг другу относительно оси х, что хорошо видно на рис. 12. Точно так же симметричны друг другу относительно оси х параболы у = 2х2 и у = - 2х2 (не поленитесь, постройте эти
две параболы в одной системе координат и убедитесь в справедливости сделанного утверждения).
Вообще, график функции у = - f(x) симметричен графику функции у = f(x) относительно оси абсцисс.
Свойства функции у = kx2 при k > 0
Описывая свойства этой функции, мы будем опираться на ее геометрическую модель — параболу (рис. 13).
1. Так как для любого значения х по формуле у = kx2 можно вычислить соответствующее значение у, то функция определена в любой точке х (при любом значении аргумента х). Короче это записывают так: область определения функции есть (-оо, +оо), т. е. вся координатная прямая.
2. у = 0 при х = 0; у > О при . Это видно и по графику функции (он весь расположен выше оси х), но можно обосновать и без помощи графика: если
, то kx2 > О как произведение двух положительных чисел k и х2.
3. у = kx2 — непрерывная функция. Напомним, что этот термин мы рассматриваем пока как синоним предложения «график функции есть сплошная линия, которую можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги». В старших классах будет дано более точное математическое истолкование понятия непрерывности функции, не опирающееся на геометрическую иллюстрацию.
4.y/наим = 0 (достигается при х = 0); унаи6 не существует.
Напомним, что {/наим — это наименьшее значение функции, а Унаиб. — наибольшее значение функции на заданном промежутке; если промежуток не указан, то унаим- и унаиб, — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции в области определения.
5. Функция у = kx2 возрастает при х > О и убывает при х < 0.
|
|
Напомним, что в курсе алгебры 7-го класса мы договорились называть функцию, график которой на рассматриваемом промежутке идет слева направо как бы «в горку», возрастающей, а функцию, график которой на рассматриваемом промежутке идет слева направо как бы «под горку», — убывающей. Более точно можно сказать так: функцию у = f (x) называют возрастающей на промежутке X, если на этом промежутке большему значению аргумента соответствует большее значение функции; функцию у = f (x) называют убывающей на промежутке X, если на этом промежутке большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
В учебнике «Алгебра—7» процесс перечисления свойств функции мы называли чтением графика. Процесс чтения графика будет у нас постепенно становиться все насыщеннее и интереснее — по мере изучения новых свойств функций. Те пять свойств, которые перечислены выше, мы обсуждали в 7-м классе для изученных там функций. Добавим одно новое свойство.
Функцию у = f(x) называют ограниченной снизу, если все значения функции больше некоторого числа. Геометрически это означает, что график функции расположен выше некоторой прямой, параллельной оси х.
А теперь посмотрите: график функции у = kx2 расположен выше прямой у = - 1 (или у = - 2, это неважно) — она проведена на рис. 13. Значит, у — kx2 (k > 0) — ограниченная снизу функция.
Наряду с функциями, ограниченными снизу, рассматривают и функции, ограниченные сверху. Функцию у — f(x) называют ограниченной сверху, если все значения функции меньше некоторого числа. Геометрически это означает, что график функции расположен ниже некоторой прямой, параллельной оси х.
Имеется ли такая прямая для параболы у = kx2, где k > 0? Нет. Это значит, что функция не является ограниченной сверху.
Итак, мы получили еще одно свойство, добавим его к тем пяти, что указаны выше.
6. Функция у = kx2 (k > 0) ограничена снизу и не ограничена сверху.
Свойства функции у = kx2 при k < 0
При описании свойств этой функции мы опираемся на ее геометрическую модель — параболу (рис. 14).
|
|
1.Область определения функции — (—оо, +оо).
2. у = 0 при х = 0; у < 0 при .
З.у = kx2 — непрерывная функция.
4. унаи6 = 0 (достигается при х = 0), унаим не существует.
5. Функция возрастает при х < 0, убывает при х > 0.
6.Функция ограничена сверху и не ограничена снизу.
Дадим пояснения последнему свойству: имеется прямая, параллельная оси х (например, у = 1, она проведена на рис. 14), такая, что вся парабола лежит ниже этой прямой; это значит, что функция ограничена сверху. С другой стороны, нельзя провести такую прямую, параллельную оси х, чтобы вся парабола была расположена выше этой прямой; это значит, что функция не ограничена снизу.
Использованный выше порядок ходов при перечислении свойств функции не является законом, пока он сложился хронологически именно таким.
Более-менее определенный порядок ходов мы выработаем постепенно и унифицируем в курсе алгебры 9-го класса.
Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции у = 2х2 на отрезке: а) [0, 2]; б) [- 2, - 1]; в) [- 1, 1,5].
Решение.
а) Построим график функции у = 2х2 и выделим его часть на отрезке [0, 2] (рис. 15). Замечаем, что 1/наим. = 0 (достигается при х = 0), а унаиб = 8 (достигается при х = 2).
б) Построим график функции у = 2х2 и выделим его часть на отрезке [- 2, - 1] (рис. 16). Замечаем, что 2/наим = 2 (достигается при х = - 1), а yнаиб = 8 (достигается при х = - 2).
в) Построим график функции у = 2х2 и выделим его часть на отрезке [- 1, 1,5] (рис. 17). Замечаем, что унанм = 0 (достигается при х = 0), а yнаиб достигается в точке х = 1,5; подсчитаем это значение:(1,5) = 2-1,52 = 2- 2,25 = 4,5. Итак, yнаиб =4,5.
Пример 2. Решить уравнение - х2 = 2х - 3.
Решение. В учебнике «Алгебра—7» мы выработали алгоритм графического решения уравнений, напомним его.
Чтобы графически решить уравнение f(x) = g (x), нужно:
1) рассмотреть две функции у = -x2 и у = 2x -3;
2) построить график функции i/ = / (х);
3) построить график функции у = g (x);
4) найти точки пересечения построенных графиков; абсцис-
сы этих точек — корни уравнения f(x) = g (x).
Применим этот алгоритм к заданному уравнению.
1) Рассмотрим две функции: у = - х2 и у = 2х - 3.
2) Построим параболу — график функции у = - х2 (рис. 18).
3) Построим график функции у = 2х - 3. Это — прямая, для ее построения достаточно найти любые две точки графика. Если х = 0, то у = - 3; если х = 1,то у = -1. Итак, нашли две точки (0; -3) и (1; -1). Прямая, проходящая через эти две точки (график функции у = 2х - 3), изображена на том же чертеже (см. рис. 18).
4) По чертежу находим, что прямая и парабола пересекаются в двух точках А(1; -1) и Б(-3; -9). Значит, данное уравнение имеет два корня: 1 и - 3 — это абсциссы точек А и В.
Ответ: 1,-3.
Замечание. Разумеется, нельзя слепо доверять графическим иллюстрациям. Может быть, нам только кажется, что точка А имеет координаты (1; — 1), а на самом деле они другие, например (0,98; - 1,01)?
Поэтому всегда полезно проверить себя. Так, в рассмотренном примере надо убедиться, что точка А(1; —1) принадлежит параболе у = — х2 (это легко — достаточно подставить в формулу у = — х2 координаты точки А; получим - 1 = - 12 — верное числовое равенство) и прямой у = 2х - 3 (и это легко — достаточно подставить в формулу у = 2х - 3 координаты точки А; получим - 1 =2-3 — верное числовое равенство). То же самое надо сделать и для точки 8. Эта проверка показывает, что в рассмотренном уравнении графические наблюдения привели к верному результату.
Пример 3. Решить систему уравнений
Решение. Преобразуем первое уравнение системы к виду у = - х2. Графиком этой функции является парабола, изображенная на рис. 18.
Преобразуем второе уравнение системы к виду у = 2х - 3. Графиком этой функции является прямая, изображенная на рис. 18.
Парабола и прямая пересекаются в точках А(1; -1) и В (- 3; - 9). Координаты этих точек и служат решениями заданной системы уравнений.
Ответ: (1; -1), (-3; -9).
Пример 4. Дана функция у — f (x), где
Требуется:
а) вычислить f(-4), f(-2), f(0), f(1,5), f(2), f(3);
б) построить график функции;
в) с помощью графика перечислить свойства функции.
Решение,
а) Значение х = - 4 удовлетворяет условию — , следовательно, f(-4) надо вычислять по первой строке задания функции.Имеем f(x) = - 0,5x2, значит, f(-4) = -0,5. (-4)2 = -8.
Аналогично находим:
f(-2) = -0,5. (-2)2=-2;
f(0) = -0,5. 02 = 0.
Значение удовлетворяет условию , поэтому надо вычислять по второй строке задания функции. Имеем f(х) = х + 1, значит, Значение х = 1,5 удовлетворяет условию 1 < х < 2, т. е. f(1,5) надо вычислять по третьей строке задания функции. Имеем f (х) = 2х2, значит, f(1,5) = 2-1,52 = 4,5.
Аналогично получим f(2)= 2. 22=8.
Значение х = 3 не удовлетворяет ни одному из трех условий задания функции, а потому f(3) в данном случае вычислить нельзя, точка х = 3 не принадлежит области определения функции. Задание, состоящее в том, чтобы вычислить f(3), — некорректно.
б) Построение графика осуществим «по кусочкам». Сначала построим параболу у = -0,5x2 и выделим ее часть на отрезке [-4, 0] (рис. 19). Затем построим прямую у = х + 1 и. выделим ее часть на полуинтервале (0, 1] (рис. 20). Далее построим параболу у = 2х2 и выделим ее часть на полуинтервале(1, 2] (рис. 21).
Наконец, все три «кусочка» изобразим в одной системе координат; получим график функции у = f(x) (рис. 22).
в) Перечислим свойства функции или, как мы условились говорить, прочитаем график.
1. Область определения функции — отрезок [—4, 2].
2. у = 0 при х = 0; у > 0 при 0<х<2;у<0 при - 4 < х < 0.
3. Функция претерпевает разрыв при х = 0.
4. Функция возрастает на отрезке [-4, 2].
5. Функция ограничена и снизу и сверху.
6. yнаим = -8 (достигается при х = -4); yнаи6. = 8 (достигается при х = 2).
Пример 5. Дана функция у = f(x), где f(x) = Зх2. Найти:
f(1), f(- 2), f(а), f(2а), f(а + 1), f(-х), f(Зх),f(x - 1),
f(x + а), f(x) + 5, f(х) + b, f(x + а) + b, f(x2), f(2х3).
Решение. Так как f (х) = Зх2, то последовательно получаем:
f(1) =3 .12 = 3;
f(a) = За2;
f(а+1) = 3(а + 1)2;
f(3х) = 3. (3х)2 = 27х2;
f(x + а) = 3(х + а)2;
f(x2) +b = 3x2 +b
f(x2) = 3. (x2)2</sup = 3x4
f(- 2) = З . (-2)2 = 12
f(2a) =З. (2a)2 =12a2
f(x) =З . (-x)2 =3x2
f(-x)+ 5 =3x2 +5
f{x + а) + b = 3 (x + a)2 + b;
f(2x3) = 3. (2x3)2</sup = 12x6