Теоретические сведения

Расчёт деревянной балки прямоугольного или круглого сечения

Теоретические сведения

1. Расчет прочности             

   Расчет на прочность по нормальным напряжениям σ произво­дят по формуле

 где М− расчетный изгибающий момент;

    R _и − расчетное сопротивление изгибу (табл. 2.4);

   W _расч − расчетный момент сопротивления поперечного сечения элемента:

• для цельных элементов W _расч= W;

  • при наличии ослаблений W _расч= W _нт, где W _нт − момент сопро­тивления сечения нетто; определяется с учетом того, что ослаб­ления, расположенные на участке элемента длиной до 200 мм, принимаются совмещенными в одном сечении аналогично расчету растянутых деревянных элементов — см. рис. 6.2.

Расчет на прочность по скалыванию следует выполнять по формуле

 где τ − касательные напряжения, возникающие в балке при изгибе;

Q − расчетная поперечная сила;

S _бр − статический момент инерции брутто сдвигаемой части поперечного сечения элемента относительно нейтральной оси;

b _расч − расчетная ширина сечения; для балок из цельной древе­сины b _расч = b;

I _бр − момент инерции брутто поперечного сечения элемента относительно нейтральной оси;

  R _ск − расчетное сопротивление скалыванию при изгибе (табл. 2.4).

2. Расчет по деформациям

Прогибы деревянных балок, выполненных из цельной древе­сины, рассчитываются аналогично расчету прогибов стальных балок, так как и при работе стали, и при работе древесины счита­ют, что они работают упруго, но при одинаковых размерах, сече­нии и нагрузках деревянная балка будет прогибаться больше, так как модуль упругости древесины вдоль волокон Е =10000 мПа, (в 20 раз меньше модуля упругости стали: Е _стали=2,06 ∙ 10⁵ МПа).

      Цель расчета − ограничить прогибы величинами, которые от­вечают требованиям эксплуатации, f ≤ f _u,см. параграф 7.1.2.

      Определение величины прогиба f (см. табл. 7.1) для балки на двух опорах при равномерно распределенной (погонной) нагруз­ке ведется по формуле

где q_n − нормативная погонная нагрузка;

l ₀ − расчетный пролет балки;

Е− модуль упругости древесины вдоль волокон;

I_x − момент инерции сечения относительно оси изгиба.

Порядок расчета деревянных балок из цельной древесины

При расчете деревянной балки возможны следующие типы за­дач: подбор сечения балки (тип 1) и проверка прочности имею­щегося сечения (тип 2):

а) подбор сечения деревянной балки (тип 1):

1. Собирают нагрузку, приходящуюся на балку.

2. Устанавливают расчетную схему балки.

3. Определяют изгибающие моменты и поперечные силы, при­ходящиеся на балку.

4. Принимают породу древесины, сорт, устанавливают температурно-влажностный режим, при котором будет эксплуатиро­ваться балка.

5. Определяют расчетные сопротивления древесины с учетом предполагаемых размеров и с учетом сорта: R _и, R _ск (табл. 2.4). Уточ­няются коэффициенты условий работы m_i (п. 3.2 СНиП II-25-80).

6. Определяют требуемый момент сопротивления по формуле

7. Задаются шириной балки b и определяют требуемую высоту балки

8. Принимают сечение балки с учетом размеров лесоматериалов и пиломатериалов, приведенных в сортаменте (Приложение 2).

  Для контроля подобранного сечения необходимо проводить его проверку.

  б) проверка подобранного сечения:

   9. Уточняют момент сопротивления и момент инерции для принятого сечения: W_x, I_x     (табл. 5.2).

10. Проверяют прочность по уравнениям

11. Проверяют жесткость: определяют прогиб и сравнивают с предельным прогибом:

  В случае выполнения условий прочности и жесткости балка считается подобранной. Если не выполняются условия прочнос­ти или жесткости, следует увеличить сечение балки и повторить проверку сечения. Так следует поступать до полного выполнения всех условий.

  Задача по проверке прочности имеющегося сечения (тип 2) является частью задачи первого типа (пп. 9−11).

Пример 1. Подобрать сечение деревянной балки для перекры­тия магазина. Состав перекрытия (условно) для сравнения с рас­четом стальной балки оставляем по данным примера 7. Нагруз­ка на 1 м²  перекрытия qⁿ _{перекрытия}  = 9,08 кПа;   q _{перекрытия}  = 10,58 кПа.

Коэффициент надежности по ответственности γ _n = 0,95. Длина гру­зовой площади l _гр = 6 м. Опирание балки выполняем на пилястру и деревянную колонну (рис. 1).

Решение.

1. Предварительно принимаем собственный вес балки gⁿ _балки = 0,35 кН/м; γ _f = 1,1; расчетная нагрузка от собственного веса балки g _балки = gⁿ _балки γ _f = 0,35 ∙ 1,1 = 0,39 кН/м.

2. Собираем нагрузку на погонный метр балки с учетом ее соб­ственного веса:

расчетная нагрузка с учетом коэффициента надежности по от­ветственности γ _n = 0,95:

   q = 63,87 ∙ 0,95 = 60,68 кН/м.

Рис. 1

3. Расчетная схема балки − аналогична расчетной схеме стальной балки в примере 7.1 (см. рис. 7.72), только изменилась расчетная длина за счет других условий опирания; расчетная длина балки

4.  Определяем максимальную поперечную силу и максималь­ный изгибающий момент:

1. Принимаем породу и сорт древесины − сосна, сорт 1-й; температурно-влажностные условия

эксплуатации − А2, коэффици­ент условия работы т _в= 1,0 (см. табл. 1, 5 СНиП II-25-80).

1. Предварительно принимаем, что размеры сечения будут более 13 см, и определяем

расчетное сопротивление изгибу

R _и = 16 МПа =1,6 кН/см²; расчетное сопротивление скалыванию

R _ск = 1,8 МПа = 0,18 кН/см² (табл. 2.4).

7. Определяем требуемый момент сопротивления:

8. Приняв ширину балки b =22 см, определяем требуемую вы­соту балки:

Вывод. Полученные размеры не соответствуют размерам цель­ных деревянных балок, используемых в строительстве. Следова­тельно, расчет показывает, что нагрузка на балку перекрытия чрез­мерно большая. Деревянные балки из цельной древесины не пред­назначены для работы с такой грузовой площадью (l _гр = 6 м) и для поддержания железобетонных плит. Балку полученных по расче­ту размеров можно выполнить только клееной, но и такая балка не предназначена для поддержания железобетонных плит, приня­тых в конструкции перекрытия по примеру 7, данные которого использовались для расчета.

Пример 2. Подобрать сечение деревянной балки перекрытия жилого дома; схема опирания балок − рис. 2. Шаг балок α = 1,2 м. Нагрузка на 1 м²  перекрытия qⁿ _{перекрытия} = 3,5 кПа; q _{перекрытия} = 4,48 кПа. Временная нагрузка на перекрытие квартир (табл. 3.3): полное значение рⁿ =1,5 кПа; пониженное значение qⁿ_l = 0,3 кПа. Длина грузовой площади равна шагу балок: l _гр = 1,2 м.

Рис. 2

 Решение.

1. Предварительно принимаем собственный вес одного метра балки gⁿ _балки = 0,25 кН/м; γ _f = 1,1;

2. Собираем нагрузку на погонный метр балки с учетом ее соб­ственного веса:

С учетом коэффициента надежности по ответственности γ _n = 0,95 (для жилого дома) расчетная нагрузка на погонный метр балки равна q =5,65 ∙ 0,95 = 5,37 кН/м.

3. Расчетная длина балки l ₀ = 5000 − 40 − 180/2 − 180/2 = 4780 мм.

  4. Учитывая, что расчетная схема балки аналогична расчетной схеме примера 7.1, определяем максимальные значения попереч­ной силы и изгибающего момента:

5. Принимаем породу древесины − кедр сибирский; сорт 2-й; температурно-влажностные условия эксплуатации − А2, коэффи­циент условия работы т _в= 1,0 (см. табл. 1.5 СНиП II-25-80); пред­варительно принимаем, что размеры сечения будут более 13 см, и определяем расчетное сопротивление изгибу R _и= 15 МПа = 1,5 кН/см²; расчетное сопротивление скалыванию R _ск = 1,6 МПа = 0,16 кН/см² (табл. 2.4); по табл. 2.5 определяем переходной коэффициент от древесины сосны, ели к древесине кедра т _п=0,9.

Расчетные сопротивления с учетом коэффициента т _п   равны:

6. Определяем требуемый момент сопротивления,

7. Приняв ширину балки b =15 см, определяем требуемую вы­соту балки:

  Принимаем сечение балки с учетом размеров, рекомендуемых сортаментом пиломатериалов (Приложение 2): b = 15 см; h = 22,5 см.

8.   Производим проверку принятого сечения:

а) определяем фактические значения: момента сопротивления, статического момента инерции и момента инерции балки (табл. 5.2):

б) проверяем прочность по нормальным напряжениям:

в) проверяем прочность по касательным напряжениям:               

Прочность по нормальным и касательным напряжениям обес­печена;

г) проверяем прогибы:

  Для проверки прогибов необходимо знать модуль упругости древесины вдоль волокон: Е =10 000 МПа = 1000 кН/см²;  прогиб по конструктивным требованиям определяется от действия всей нормативной нагрузки, действующей на балку, qⁿ =0,0445 кН/см;

• определяем прогиб по конструктивным требованиям:              

     предельный прогиб по конструктивным требованиям (табл. 7.2) f_u = l /150 = 500/150 = 3,3 см; f = 2,12 см < f_u =3,3 см − прогиб бал­ки в пределах нормы;

• прогиб по эстетико-психологическим требованиям определяет­ся от действия длительной нагрузки (постоянной и временной длительной нагрузки) qⁿ_l = qⁿ _{перекрытия} l _гр − pⁿl _гр + pⁿ _l l _гр +   gⁿ _балки = 3,5 ∙ 1,2 − 1,5 ∙ 1,2 + 0,3 ∙ 1,2 + 0,25 = 3,01 кН/м = 0,0301 кН/см;

Предельный прогиб определяем с учетом интерполяции, для длины балки 5 м (табл. 7.4) f_u = l /183 = 500/183 = 2,73 см.

f = 1,43 см < f_u = 2,73см − прогиб балки в пределах нормы.

Вывод. Принимаем балку сечением 15 х 22,5 см из кедра сибир­ского, древесина второго сорта.

  Задание для самостоятельной работы.

Задача 1. Подобрать сечение деревянной балки, выполнен­ной из бревна. Материал − береза, сорт 2. Температурно-влажностные условия эксплуатации В2 (эксплуатация на открытом возду­хе в нормальной зоне), т _в=0,85. Нагрузка на один погонный метр балки с учетом ее собственного веса qⁿ = …кН/м; q =… кН/м; у_n = 0,95. Схема опирания балки − рис. 3.

 

           Рис. 3

 

                                                                                                                              Таблица 1

№ варианта	Нормативная нагрузка, qn	Расчётная нагрузка,q
1	6,0	7,5
2	7,0	8,5
3	8,0	9,5
4	9,0	10,5
5	5,0	6,5
6	5,5	6,5
7	6,5	7,0
8	7,5	9,0
9	8.5	10,0
10	9,5	11,0
11	10,0	12,0
12	11,0	13,0
13	12,0	14,0
14	13,0	15,0
15	14,0	16,0
16	15,0	17,0
17	16,0	18,0
18	17,0	19,0
19	18,0	20,0
20	19,0	21,0
21	5,6	7,2
22	5,8	7,4
23	6,2	7,8
24	6,4	8,2
25	6,6	8,4
26	6,8	8,6
27	7,2	9,2
28	7,4	9,4
29	7,6	9,6
30	7,8	9,8