Дисциплина: «Математика»
Специальность: « Переводческое дело» ОП9Б
Подготовила Курманова А.Б.
Лекция 26.03.20 г.
Тема: Логарифмическая функция, ее свойства и график
На данном уроке мы введем понятие логарифмической функции, рассмотрим ее основные свойства и график.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Показательная функция и логарифм» и «Функции»
Свойства показательной функции
Понятие логарифма, свойства логарифмической функции определяются свойствами показательной функции и зависят от них.
Напомним свойства показательной функции на конкретном примере:
Основание функции больше единицы, построим график (рис. 1):
Рис. 1. График функции
Свойства заданной функции:
1. Область определения: ;
2. Область значений: ;
3. Функция монотонно возрастает на всей своей области определения.
Каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, каждому значению функции соответствует единственное значение аргумента, которое и называется логарифмом.
|
|
Например:
В общем случае:
Определение логарифма, доказательство существования логарифмической функции
Теперь мы можем вспомнить определение логарифма в общем виде.
При выполнении поставленных условий уравнение имеет единственное решение:
Определение:
Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.
Например:
Из всего вышесказанного можем сделать важный вывод:
На множестве существует функция , где а – положительное число, не равное единице.
Справа показательная функция, свойства которой мы повторили, основание а – положительное число, не равное единице, функция приобретает все положительные значения, отсюда следует, что функция, стоящая слева, существует на заданном множестве значений аргумента.
Например:
Логарифмическая функция с основанием, большим единицы, ее свойства и график
Начнем изучение логарифмической функции с рассмотрения ее частного случая, а именно
Составим таблицу для построения функции и ее исследования:
Чтобы вычислить значения функции, воспользуемся формулой:
Остальные значения вычисляются аналогично.
1 | 2 | 4 | 8 | |||
-2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Построим график функции по полученным точкам (рис. 2):
Рис. 2. График функции
Прочтем график заданной логарифмической функции и сформулируем ее свойства. Если аргумент возрастает от нуля (не включительно) до бесконечности, функция возрастает от минус до плюс бесконечности. Свойства любой логарифмической функции с основанием, большим единицы, будут аналогичными.
|
|
Итак, свойства функции :
1. Область определения: ;
2. Функция возрастает на всей области определения;
3. Функция не ограничена ни сверху, ни снизу;
4. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
5. Функция непрерывна;
6. Область значений: ;
7. Функция выпукла вверх.
Еще раз подчеркнем: под знаком логарифма может стоять только положительное число, сам логарифм может принимать любые значения.
Также следует отметить, что ось у является асимптотой, т. к. если аргумент приближается к нулю неограниченно, функция убывает до минус бесконечности.
Логарифмическая функция с основанием, лежащим в пределах от нулю до единицы, ее свойства и график
Перейдем к изучению логарифмической функции с основанием меньшим единицы, рассмотрим ее на конкретном примере:
Составим таблицу для построения функции и ее исследования:
Чтобы вычислить значения функции, воспользуемся формулой:
Остальные значения вычисляются аналогично.
1 | 2 | 4 | 8 | |||
2 | 1 | 0 | -1 | -2 | -3 |
Построим график функции по полученным точкам (рис. 3):
Рис. 3. График функции
Прочтем график заданной логарифмической функции и сформулируем ее свойства. Если аргумент возрастает от нуля (не включительно) до бесконечности, функция убывает от бесконечности до минус бесконечности. Свойства любой логарифмической функции с основанием, принадлежащим промежутку от нуля до единицы, не включая границы, будут аналогичными.
Итак, свойства функции :
1. Область определения: ;
2. Функция убывает на всей области определения;
3. Функция не ограничена ни сверху, ни снизу;
4. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
5. Функция непрерывна;
6. Область значений: ;
7. Функция выпукла вниз.
Также следует отметить, что ось у является асимптотой, т. к. если аргумент приближается к нулю неограниченно, функция убывает до минус бесконечности.
Решение примера
Теперь рассмотрим типовую задачу на свойства логарифмической функции.
Пример 1: найти множество значений функции:
То есть, имеем логарифмическую функцию, заданную не на всей области определения, а только на ее части.
Для наглядности построим график заданной функции (рис. 4):
Рис. 4. График функции
Мы знаем, что заданная функция монотонно возрастает, т. к. основание логарифма больше единицы, т. е. для выполнения задания достаточно вычислить значения функции в граничных точках.
Ответ: при
Итак, мы ввели понятие логарифмической функции, рассмотрели ее свойства и график. Далее мы продолжим изучение логарифмической функции.
Список литературы
1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.