Требования к содержанию отчета по работе

Практическая работа № 14

Тема: « Призма. Пирамида. Усеченная пирамида»

Цель работы: систематизировать знания и навыки решения задач по данной теме.

Порядок выполнения работы:

1. Повторите теоретические материал по теме работы

2. Постройте призму и пирамиду и на чертеже укажите их основные элементы. Запишите формулы полной и боковой поверхности для призмы и пирамиды.

3. Выполнить задания своего варианта

4. Оформить работу и сделать вывод

Теоретическая часть

Призма

1.1. Понятие многогранника

1. Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников (многоугольник – это плоскостная фигура) и ограничивающая некоторое геометрическое тело;

2. Элементы многогранника: грани (многоугольники, из которых составлен многогранник), ребра (стороны граней), вершины (концы ребер), диагональ (отрезок, соединяющий вершины, не принадлежащие одной грани). По рисунку 1. Определите количество ребер, вершин, граней приведенных многогранников;

3. Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые

1.2. Призма

Определение. Призма –это многогранник, составленный из двух равных n – угольников, расположенных в параллельных плоскостях, и n одинаковых параллелограммов.

Рассмотрим два одинаковых многоугольника, расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезки, соединяющие их вершины, идут параллельно (см. рис.)

Какой многоугольник лежит в основании, так и называется призма:

треугольник – треугольная, четырехугольник – четырехугольная и т.д.

На рисунке изображена наклонная пятиугольная призма.

Обозначение: ABCDEA₁B₁C₁D₁E₁ – наклонная пятиугольная призма.

Элементы:

ABCDE и A₁B₁C₁D₁E₁ – нижнее и верхнее основания;

AA₁B₁B, AA₁E₁E … - боковые грани (параллелограммы – по определению);

AA₁, BB₁, CC₁ … - боковые ребра;

A, B, C, А₁, B₁, C₁… - вершины;

Боковые ребра AA₁= BB₁= … = CC₁ (как отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями);

Высота – это перпендикуляр между основаниями, h = OO₁.

1.3. Виды призм

Наклонная – боковые ребра не перпендикулярны к основаниям;

Прямая – боковые ребра перпендикулярны к основаниям.

В прямой призме:

1) боковое ребро является высотой (h = AA₁ = BB₁…)

2) боковые грани – прямоугольники.

Правильная призма – это прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник (т.е. равносторонний треугольник, квадрат, правильный пятиугольник, правильный шестиугольник и т.д.). В правильной призме все боковые грани – равные прямоугольники.

Итак, если призма правильная, то она обязательно прямая. Обратное утверждение неверно.

Пример. На рисунке изображена правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁:

ΔABC – правильный, т.е. в нем равны стороны, углы, совпадают центры вписанной и описанной окружностей и т.п.

Самостоятельно: изобразите правильную четырехугольную призму. Действительно, это прямоугольный параллелепипед, в основании которого – квадрат. Определите, центры и радиусы вписанной т описанной окружностей.

1.4. Площадь поверхности призмы

Полная поверхность призмы складывается из площадей двух оснований и площади боковой поверхности. Боковая поверхность – это поверхность, составленная из боковых граней. Таким образом:

;

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту:

Решение задач

Задача 1. Диагональ куба равна 3. Найдите площадь его поверхности.

Решение. Пусть ребро куба – a. Тогда куб состоит из 6 равных квадратов, площадь каждого из которых a².

Ответ: 18

Задача 2. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в два раза?

Решение. . Ответ: в 4 раза

Задача 3. В прямоугольном параллелепипеде . Найдите длину ребра DC.

Решение. Известны два измерения и диагональ параллелепипеда. Тогда по формуле:

. Ответ: 3

Задача 4. Основанием прямого параллелепипеда (прямой призмы) является ромб с диагоналями 10см и 24см. Высота параллелепипеда – 10см. Найти: 1) площадь полной поверхности призмы; 2) большую диагональ призмы.

Делаем рисунок. Ромб в основании изображается в виде произвольного параллелограмма.

Призма прямая – значит, на рисунке около любого бокового ребра ставим h. Определяем, какая диагональ будет наибольшей.

Дано:

ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямая призма

Основание ABCD – ромб AC = 24см, BD = 10см

h = 10см

Найти: 1) S _п_.п_. 2) A₁C

Решение:

1.1) (см. «Площади фигур»)

1.2)

P_осн = P_ABCD = 4∙AB т.к. стороны ромба равны.

Ищем сторону AB. Для этого изобразим ромб ABCD в плоскости листа.

В параллелограмме точкой пересечения диагонали делятся пополам.

Особое свойство ромба – диагонали пересекаются под прямым углом.

Тогда из ΔABO:

Подставляем и считаем P_осн = 4∙13 = 52

S_б.п. = 52∙10 = 520

2) В данном параллелепипеде четыре попарно равные диагонали: A₁C = AC₁ и BD₁ = B₁D.

Диагонали равны как гипотенузы прямоугольных треугольников с равными катетами. Поскольку AC > BD по условию, то A₁C > B₁D.

Из ΔACA₁:

Ответ: 760см², 26см

1.1. Пирамида. Элементы пирамиды

Рассмотрим многоугольник A₁A₂…A_n и точку S, не лежащую в плоскости многоугольника.

Соединим точку S со всеми вершинами многоугольника.

Полученное таким образом тело, называется пирамидой.

Определение. Многогранник, составленный из многоугольника (n-угольника) и n треугольников, называется пирамидой.

На рисунке изображена пятиугольная пирамида, т.к. в основании лежит пятиугольник.

Обозначение: название пирамиды начинается с вершины (точки S): SA₁A₂A₃…A_n

Элементы:

Многоугольник A₁A₂…A_n – основание;

Точка S – вершина;

Треугольники A₁SA₂, A₂SA₃…- боковые грани;

Отрезки SA₁, SA₂…SA_n - боковые ребра;

Отрезок SO = h – высота пирамиды. Высота пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания.

Построение углов в пирамиде:

1) Угол наклона бокового ребра к плоскости основания (это угол между прямой и плоскостью. Построение см. Тема 7.1 Лекция 3). На рисунке – это углы SA₂O, SA₃O.

2) Угол наклона боковых граней к плоскости основания (это угол между двумя гранями, т.е. двугранный угол). На рисунке этих углов нет.

Утверждения:

1) Если в пирамиде равны углы наклона боковых ребер к плоскости основания, то вершина проецируется в центр описанной окружности основания. (Точка О равноудалена от вершин)

2) Если в пирамиде равны углы наклона боковых граней к плоскости основания, то вершина проецируется в центр вписанной окружности. (Точка О равноудалена от сторон основания)

Пирамида, в основании которой лежит треугольник, (т.е. пирамида с четырьмя гранями) называется тетраэдр.

1.2. Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если:

1) в основании лежит правильный многоугольник;

2) отрезок, соединяющий центр основания с вершиной, является высотой. Т.е. вершина проецируется в центр основания. Центр основания – это центр вписанной или описанной окружности (для правильного многоугольника совпадают).

На рисунке изображена правильная треугольная пирамида. В основании правильный Δ (в изображении на рисунке – произвольный). Точка О – центр вписанной или описанной окружности. Ее нельзя просто поставить, а нужно строить!! (Построение см. Справочный материал). Из точки О восстановлен перпендикуляр. На нем стоит вершина S.

Помня, что Δ в основании правильный (т.е. О – точка пересечения медиан, высот, биссектрис, серединных перпендикуляров), достаточно рассмотреть прямоугольные треугольники SOA, SOB, SOC, чтобы доказать свойства правильной пирамиды.

Свойства правильной пирамиды:

1) Боковые ребра равны.

2) Боковые грани – равные равнобедренные треугольники.

3) Углы наклона боковых ребер к плоскости основания равны (на рисунке это углы SAO, SCO).

4) Углы наклона боковых граней к плоскости основания равны (на рисунке это углы SMO, SKO).

Для правильной пирамиды вводится новый элемент: апофема. Апофема – это высота боковой грани (обозначается H). На рисунке H = SM = SK. (Очевидно, что апофема пройдет через середину стороны основания).

Самостоятельно: изобразить правильную четырехугольную пирамиду, определить ее элементы, построить угол наклона бокового ребра к плоскости основания и угол наклона боковой грани к плоскости основания.

1.3. Площадь поверхности пирамиды

Полная поверхность пирамиды:

Боковая поверхность (т.е. сумма площадей боковых граней)

Для правильной пирамиды.

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

1.4. Усеченная пирамида

Если в произвольную пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, то она разобьет пирамиду на два многогранника – маленькую пирамиду и усеченную пирамиду.