2020-06-10
231
УГЛЫ В ОКРУЖНОСТИ
1. Отрезки 
и 
— диаметры окружности с центром 
. Угол 
равен 
. Найдите угол 
. Ответ дайте в градусах.
Решение 
2. Отрезки и — диаметры окружности с центром . Угол равен 
. Найдите вписанный угол . Ответ дайте в градусах.
Решение 
3. На окружности по разные стороны от диаметра 
взяты точки 
и 
. Известно, что 
. Найдите угол 
. Ответ дайте в градусах.
Решение 
4. Точка — центр окружности, на которой лежат точки 
, 
и 
. Известно, что 
и 
. Найдите угол 
. Ответ дайте в градусах.
Решение Треугольники AOB и BOC - равнобедренные, так как AO=BO=CO – радиусы окружности. Следовательно, ∠OBA=∠OAB=43°, тогда ∠OBC=∠ABC- ∠OBA=75°-43°=32°. По свойству равнобедренного треугольника ∠BCO=∠OBC=32°.
5. Точка — центр окружности, на которой лежат точки , и таким образом, что 
— ромб. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Решение Треугольник AOB - равносторонний, так как AO=BO – радиусы окружности и AO=BА – стороны ромба. Следовательно, ∠OAB=60°, тогда смежный угол ромба ∠ABC =180°-60°=120°.
6. Касательные к окружности с центром в точках и пересекаются под углом 
. Найдите угол 
. Ответ дайте в градусах.
|
|
|
Решение Пусть касательные пересекаются в точке М. Отрезки касательных, проведенных из одной точки равны: АМ=МВ, значит треугольник АМВ – равнобедренный. По свойству равнобедренного треугольника 
Так как радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен касательной, то 
| ||||
|
. Точка 
образует с касательной угол, равный 
. Найдите величину угла 
. Ответ дайте в градусах.
Решение Так как радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен касательной, то 
Треугольник КOМ - равнобедренный, так как КO=МO – радиусы окружности. По свойству равнобедренного треугольника 
РАССТОЯНИЯ В ОКРУЖНОСТИ
8. Длина хорды окружности равна 72, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 27. Найдите диаметр окружности.
Решение Треугольник ОАВ – равнобедренный, так как ОА=ОВ – радиусы окружности. Тогда перпендикуляр ОН, опущенный на хорду из центра окружности, делит АВ пополам. Значит, треугольник ОАН – прямоугольный и ОН= 27, АН =72:2=36. По теореме Пифагора 
Тогда диаметр окружности равен 90.
9. На окружности с центром отмечены точки и так, что 
. Длина меньшей дуги равна 99. Найдите длину большей дуги.
Решение 
Обозначим длину большей дуги АВ через x и составим пропорцию
10. На отрезке выбрана точка так, что 
и 
. Построена окружность с центром , проходящая через . Найдите длину касательной, проведённой из точки к этой окружности.
Решение По построению АС является радиусом окружности. Обозначим через К второй конец диаметра, проходящего через точки А и С, и через Н – точку касания. По теореме о квадрате касательной 
|
|
|
11. Отрезок  касается окружности радиуса 75 с центром в точке . Окружность пересекает отрезок  в точке  . Найдите  .
|
Решение Так как радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен касательной, то треугольник ОАВ является прямоугольным. Тогда по теореме Пифагора 
12. Радиус окружности с центром в точке равен 85, длина хорды равна 80. Найдите расстояние от хорды до параллельной ей касательной 
.
Решение Треугольник ОАВ – равнобедренный, так как ОА=ОВ – радиусы окружности. Тогда перпендикуляр ОН, опущенный на хорду из центра окружности, делит АВ пополам. Значит, треугольник ОАН – прямоугольный и ОА= 85, АН =80:2=40. По теореме Пифагора 
Искомое расстояние равно сумме радиуса и расстояния от центра до хорды АВ, то есть 85+75=160.
