Наибольшее и наименьшее значение функций. Ограничение сверху и снизу

Когда мы рассматриваем любой из графиков квадратичных функций, то можем заметить, что значения функции на одной ветви параболы всегда уменьшаются, а значения на другой ветви параболы увеличиваются. В таком случае говорят, что на первой ветви функция убывает, на второй возрастает.

Аналитически это можно описать так: если при любых значениях аргументов, где х₂>x₁, значения функции у₂>у₁, то функция является возрастающей. Если же при любых х₂>x₁ значения функции у₂<у₁, то функция является убывающей.

Если взять часть убывающей ветви параболы, то крайнее левое значение будет максимальным на этой части ветви параболы, а крайнее правое значение – минимальным. В то же время, на возрастающей части ветви параболы крайнее левое значение функции – максимально на рассматриваемом участке, а крайнее правое – минимально.

Если ветви параболы направлены вверх, то минимальным значением функции будет являться значение функции в её вершине, если же ветви параболы направлены вниз, то значение, которое принимает функция в вершине – это её максимальное значение.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на каком-либо промежутке нужно сначала определить возрастает или убывает функции на данном промежутке. Если возрастает, то на отрезке [a;b] в точке а функция принимает наименьшее значение, а в точке b наибольшее. Если же функция убывает, то, наоборот, на отрезке [a;b] в точке а функция принимает наибольшее значение, а в точке b наименьшее.

Если квадратичная функция имеет наибольшее значение, значит, функция ограничена сверху, если же имеет наименьшее значение, то она ограничена снизу. График любой квадратичной функции всегда ограничен с одной стороны.