Приближение по недостатку и по избытку. Вычисление с точностью до 0,1; 0,01 и т.д

 

При решении практических задач часто приходится иметь дело с приближёнными значениями различных величин. Приближённые значения обычно получаются при подсчёте большого количества предметов, например, числа деревьев в лесу; при измерениях различных величин с помощью приборов, например, длины, массы, температуры; при округлении чисел; при вычислениях на микрокалькуляторах и т.д.

Один из школьников на вопрос о том, сколько учащихся учится в школе, ответил: «приблизительно 1000», а другой на тот же вопрос ответил: «приблизительно 950». Чей ответ точнее, если в школе учится 986 учащихся?

Первый школьник ошибся на 14, а второй – на 36. Следовательно, более точным был ответ первого учащегося.

Заметим, что разность между точным и приближённым значениями числа учащихся в первом случае отрицательна: , а во втором случае положительна: .

1000 – это приближение с избытком, а 950 – с недостатком.

Практически важно знать отклонение приближённого значения от точного в ту или другую сторону, т.е. модуль (абсолютную величину) разности между точным значением и приближённым.

Модуль разности между точным значением величины и её приближённым значением называется абсолютной погрешностью приближения.

Таким образом, если а – приближённое значение величины, точное значение которой равно х, то абсолютная погрешность приближения равна . Абсолютную погрешность приближения часто называют просто погрешностью.

Округление чисел используется при действиях с приближёнными значениями различных величин во многих практических задачах математики, физики, техники.

Например, ускорение свободного падения на уровне моря и широте 45⁰ равно 9,80665 м/с². Обычно это число округляют до десятых: 9,8. При этом пишут:  (читается «g приближённо равно 9,8»).

Запись  означает, что число а является приближённым значением числа х.

Чтобы абсолютная погрешность приближения при округлении положительных чисел была наименьшей, пользуются следующим правилом:

Если первая отбрасываемая цифра меньше 5, то нужно округлять с недостатком (просто отбросить), а если эта цифра больше или равна 5, то нужно округлять с избытком (увеличить цифру перед отбрасываемой на 1).

Например, при округлении до десятых получаем: 3,647≈3,6; 2,658≈2,7; при округлении до сотых получаем: 0,6532≈0,65; 9,0374≈9,04.

Заменить число  десятичной дробью, равной этому числу с точностью до 0,01. Это задание не что иное, как округление десятичного представления числа до сотых.

Запишем результат деления 2 на 7 в виде десятичной дроби с тремя знаками после запятой: . Округляя это число до сотых, получаем .

Для оценки качества приближения вводится относительная погрешность. Относительной погрешностью называют частное от деления абсолютной погрешности на модуль приближённого значения величины.

 

Запись чисел в виде a·10ⁿ, где 1≤а<10, nϵZ.

 

Стандартным видом числа х называют запись этого числа в виде a·10ⁿ, где 1≤а<10, nϵZ. Число а называют значащей частью числа х, а целое число n называют порядком этого числа.

В алгебре приняты следующие обозначения: где n – натуральное число.

С помощью этих обозначений можно одну и ту же положительную десятичную дробь представить по-разному.

Например,

.

Рассмотрим примеры записи числа в стандартном виде.

Пример 1. Представим в стандартном виде число х =63800000. Число х должно иметь вид 6,38⸳10ⁿ. Поставив в числе х запятую после первой цифры 6 (6,3800000), мы тем самым отделили запятой 7 цифр справа, т.е. уменьшили число х в 10⁷ раз. Значит, х =6,38⸳10⁷.

Пример 2. Запишем в стандартном виде число х=0,0000327. Число х должно иметь вид 3,27⸳10ⁿ, т.е. в значащей части числа должна быть одна цифра, отличная от нуля. Переставив запятую на 5 знаков вправо, мы увеличили число в 10⁵ раз. Поэтому число х меньше числа 3,27 в 10⁵ раз. Значит, .

Пример 3. Представим произведение  в стандартном виде числа.

Пример 4. Разделим 1,767⸳10⁵ на .

Приближённые значения, как и точные, можно складывать и умножать между собой.

Пример 5. Найдём х + у, если

Чтобы результат сложения получить в стандартном виде, выполним следующие преобразования:

 

При умножении и делении приближённых значений в произведении и частном оставляют столько цифр (не считая нулей, стоящих перед первой значащей цифрой), сколько значащих цифр имеет приближённое значение с меньшим числом значащих цифр.

Пример 6. Найдём ху, если х≈0,69, у≈2,3857. Округлив второй множитель до 3 значащих цифр, получим 2,3857≈2,39. Найдём произведение ху и результат округлим до двух значащих цифр: ху≈0,69⸳2,39=1,6491≈1,6.

Пример 7. Найдём х: у, если х≈3,20⸳10⁵, а у≈6,17865⸳10². Округлив делитель до 4 значащих цифр, получим 6,17865⸳10²≈6,179⸳10². Найдём частное х: у и результат округлим до 3 значащих цифр: