Геометрические фракталы

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ

ВЛАДИМИРСКОЙ ОБЛАСТИ

ГБПОУ ВО «ВХМК»

РЕФЕРАТ-АЛЬБОМ

Удивительный мир фракталов

2016

Альбом-реферат «удивительный мир фракталов» выполнен в рамках индивидуального проекта по дисциплине: математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Выполнила: Абрамова К.В. – студентка группы ТП-11

 

Содержание.

1. Введение___________________________________________________________ 4 стр.

2. Б. Мандельброт – основоположник фракталов____________________________ 6стр.

3. Определение фрактала________________________________________________7стр.

4. Классификация фракталов_____________________________________________9стр.

5. Фракталы и природа__________________________________________________11стр.

6. Фракталы и искусство________________________________________________12стр.

7. Применение фракталов_______________________________________________15стр.

8. Приложение________________________________________________________17стр.

9. Заключение_________________________________________________________22 стр.

10. Литература__________________________________________________________23 стр.

 

Введение.

 

«В природе существует много такого, что не может быть ни

                   достаточно глубоко понято, ни достаточно убедительно

                 доказано, ни достаточно умело и надёжно использовано

                  на практике без помощи и вмешательства математики».

Ф. Бэкон

        Красота всегда относительна. Не следует полагать, что берега океана и впрямь бесформенны только потому, что их форма отлична от правильной формы построенных нами причалов; форму гор нельзя считать неправильной на основании того, что они не являются правильными конусами или пирамидами; из того, что расстояние между звездами неодинаковы, не следует, что их разбросала по небу неумелая рука. Эти неправильности существуют только в нашем воображении, на самом деле они таковыми не являются и никак не мешают истинным проявлениям жизни на Земле, ни в царстве растений и животных, ни среди людей.

      На уроках геометрии мы изучаем окружности, параллелограммы, треугольники, квадраты.Однако в природе большей частью объекты «неправильные» -шероховатые, зазубренные, изъеденные ходами и отверстиями.

      Классическую математику XIX века от современной математики XX века отделяет великая революция идей. Историческая революция была вызвана открытием математических структур, не умещавшихся в рамках построений Евклида и Ньютона.

      Меня заинтересовало одно из открытий тридцатилетней давности – открытие фракталов – удивительно красивых и таинственных геометрических объектов.

    В своей работе я бы хотела рассмотреть фракталы как новое открытие в геометрии, изучить мир фракталов, понять его красоту и неизведанность, понять их место в науке и природе.

  2. Б.Мандельброт – основоположник фракталов.                                                                                        

Бенуа Мандельброт родился в Варшаве в 1924 году в семье литовских евреев. Его мать Белла Лурье была врачом, отец — Карл Мандельброт — галантерейщиком. В 1936 году вся семья эмигрировала во Францию и поселилась в Париже.

         После начала войны Мандельброты бежали на свободный от немецкой оккупации юг Франции, в городок Тюль. Там Бенуа пошел в школу, но вскоре потерял интерес к учёбе. Но у Бенуа Мандельброта открылся необычный математический дар, который позволил ему сразу после войны стать студентом Политехнической школы Парижа. Оказалось, что у Бенуа великолепное пространственное воображение. Даже алгебраические задачи он решал геометрическим способом. Оригинальность его решений позволила ему поступить в университет.

        Окончив университет, Мандельброт переехал в США, где окончил Калифорнийский технологический институт. По возвращении во Францию, он получил докторскую степень в Университете Парижа в 1952 году

          В 1958 году Мандельброт окончательно поселился в США, где приступил к работе в научно-исследовательском центре IBM в Йорктауне, поскольку IBM в то время занималась интересными Бенуа областями математики. Он работал в области лингвистики, теории игр, экономики, аэронавтики, географии, физиологии, астрономии, физики. Ему нравилось изучать различные направления. Мандельброт обнаружил, что произвольные внешне колебания цены могут следовать скрытому математическому порядку во времени.

           Бенуа Мандельброт занялся изучением статистики цен на хлопок за большой период времени (более ста лет). Он проследил симметрию в длительных колебаниях цены и колебаниях кратковременных. Мандельброт увидел самоподобные фракталы там, где все остальные видели только деньги и ткани.

       Бенуа Мандельброт был профессором Йельского университета, членом американской Академии искусств и наук США. Он удостоен многочисленных почётных степеней и наград. Его последняя важная награда – премия Вольфа по физике.

      Умер 14 октября 2010 года в Кембридже (Массачусетс, США), в возрасте 85 лет.

3.Определение фрактала.

Известный немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц(1646-1716) рискнул предположить, что внутри капли воды могут умещаться целые вселенные со своими планетами.

Самоподобной геометрической фигурой называют фигуру, которую можно разрезать на конечное число одинаковых фигур, подобных ей самой. Самоподобными, например, являются правильный треугольник и квадрат. Однако существуют и самоподобные фигуры весьма причудливых очертаний.  

         Объекты, обладающие таким свойством, современный американский математик Бенуа Мандельброт предложил назвать фракталами (от лат.fractus-«ломать, разламывать»).

          Понятия фрактал и фрактальная геометрия, которые появились в конце 70-х,с середины 80-х помогли математикам и программистам. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта «The Fractal Geometry of Nature». В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.      1977 год –начало переворота, который геометрия фракталов производит не только в математике и физике, но и во всем естествознании.

    Фрактальная геометрия – это революция в математике и математическом описании природы. Вот как об этом пишет сам первооткрыватель фрактальной геометрии Б. Мандельброт: «Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака – это не сферы, горы – это не конусы, линии берега – это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно ».

     Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому".

 В 1984 году состаялось выставка,,Границы хаоса,,,где были представлены важнейшие фрактальные структуры Мандельброта.В 1986 г. (В России в 1993) вышла на английском языке книга Х.О. Пайтгена и П. Рихтера «Красота фракталов». Фрактальный бум охватил всю планету и стал одной из ярких примет прошедшего XX века.

 4.Классификация фракталов

Фракталы делятся на многочисленные группы. Самые распространенные и крупные из них – это:

· геометрические фракталы

· алгебраические фракталы

· стохастические фракталы

Геометрические фракталы

История фракталов началась именно с геометрических фракталов- этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении поступают так: берется некоторый набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этому набору применяют правила, которые преобразуют его в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять те же правила. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем бесконечное количество преобразований - получим геометрический фрактал.