Уравнение стоячей волны

Тема: Стоячие волны

Савельев, том 1, §84.

Стоячие волны чрезвычайно важны в физике звука. Примерами стоячей волны могут служить колебания струны, колебания воздуха в органной трубе.

Определение. Стоячая волна – интерференция двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Стоячую волну дает плоская волна, падающая на преграду, и бегущая ей навстречу отраженная волна. При отражении от более плотной среды фаза волны меняется на противоположную, при отражении от менее плотной среды фаза волны не меняется.

Уравнение стоячей волны

Запишем уравнения двух плоских волн, бегущих в противоположных направлениях:

ξ₁ = a cos (ωt – kx)

ξ₂ = a cos (ωt + kx)

Сложим эти уравнения:

ξ = ξ₁+ ξ₂ = a cos (ωt – kx) + a cos (ωt + kx) = [формула суммы косинусов: cos α + cos β = 2 cos cos ] = 2a cos ωt cos kx.

Запишем результат в виде:

ξ = 2a cos kx cos ωt – уравнение стоячей волны.

В каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты, что и у обеих волн, а амплитуда этих колебаний зависит от х:

A = 2a cos kx = 2a cos 2π

Точки, где амплитуда колебаний максимальна, называются пучностями, а точки, в которых амплитуда колебаний равно нулю, называются узлами стоячей волны.

Используем условия максимума и минимума колебаний при интерференции волн. Максимум будет при условии

2π = ± nπ (n = 0, 1, 2, …)

Отсюда найдем координаты пучностей:

х_пучн = ± n = ± nλ_ст (n = 0, 1, 2, …)

λ_ст = – длина стоячей волны в два раза меньше длины падающей волны.

Амплитуда обращается в ноль при условии

2π = ± (n + )π (n = 0, 1, 2, …)

Отсюда найдем координаты узлов:

х_узл = ± (n + ) = ± (n + ) λ_ст (n = 0, 1, 2, …)

Расстояние между соседними пучностями, так же как между соседними узлами, равно . Узлы и пучности сдвинуты друг относительно друга на четверть длины волны.

Если волна отражается от среды менее плотной, то фаза волны на границе раздела не меняется и на границе раздела двух сред будет пучность. Если волна отражается от более плотной среды, то ее фаза изменяется на противоположную, то есть отражение от более плотной среды происходит с потерей половины длины волны (λ/2).

Изображение стоячей волны посмотреть по ссылке:

https://ru.wikipedia.org/wiki/Стоячая_волна#/media/Файл:Standing_wave_2.gif

Задачи

1. Найти длину волны λ колебаний, если расстояние между первой и четвертой пучностями стоячей волны l = 15 см.

2. Расстояние между соседними узлами стоячей волны, создаваемый камертоном в воздухе l = 42 см. Принимая скорость звука в воздухе υ=332 м/с, определите частоту колебаний ν камертона.

3. Найти положение узлов и пучностей и начертить график стоячей волны, если: а) отражение происходит от менее плотной среды; б) отражение происходит от более плотной среды. Длина бегущей волны λ = 12 см. График чертить в координатах ξ(х).