Образец выполнения заданий

Задание 1. На примере вычитания числа 126 из 540 покажите, какие теоретические положения лежат в основе алгоритма вычитания многозначных чисел.

Решение. Представим данные числа в виде сумм степеней десяти с коэффициентами: 540—126 = (5∙10² + 4∙10 + 0) — (1∙10 ² + 2∙10 + 6). Так как из числа 0 нельзя вычесть 6, то из числа 540 возьмем один десяток и представим его в виде 10 единиц — запись числа в десятичной системе счисления позволяет это сделать: (5∙10² + 3∙10 + 10) — (1∙10 ² + 2∙10 + 6).

Если теперь воспользоваться правилом вычитания суммы из числа, то придем к выражению: (5∙10² + 3∙10 + 10) — 1∙10 ² – 2∙10 -- 6.

Далее применим правило вычитания числа из суммы:

            (5∙10² — 1∙10 ²) + (3∙10 -- 2∙10) + (10 — 6).

На основе дистрибутивного закона умножения относительно вычитания выносим общий множитель за скобки в двух первых слагаемых полученной суммы: (5 – 1) ∙ 10² + (3 -- 2) ∙10 + (10 — 6).

Воспользуемся таблицей сложения однозначных чисел: 4 ∙ 10² + 1∙10 + 4.

Полученное выражение есть запись числа 414 в десятичной системе счисления.                                                                                  _ 540

Проведенные вычисления принято записывать так:     126

                                                                                            414.

Из рассуждений, выше приведенных, следует, что правило вычитания «столбиком» основывается на:

- способе записи чисел в десятичной системе счисления;

- правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа;

- дистрибутивном законе умножения относительно вычитания;

- таблице сложения однозначных чисел.

Задание 2. Найдите значение выражения 42₅∙ 324₅ + 213₅. Сделайте проверку вычислений в десятичной системе счисления.

Решение. Составим таблицу сложения и умножения однозначных чисел в пятеричной системе счисления.

 

+	1	2	3	4
1	2	3	4	10
2	3	4	10	11
3	4	10	11	12
4	10	11	12	13

Используя таблицу умножения, находим произведение 

42₅ ∙ 324₅ = 30313₅

Используя таблицу сложения, находим значение выражения

30313₅ + 213₅ = 31031₅

Итак, 42₅ ∙ 324₅ + 213₅ = 31031₅

Проверка:

Переходим от записи числа в системе счисления с основанием р=5 к записи числа в десятичной системе счисления:

42₅ = 4 · 5 + 2 = 22

324₅ = 3 · 5² + 2 · 5 + 4 = 89

213 ₅   =2 · 5² + 1 · 5 + 3 = 58

Находим результаты действий над числами в десятичной системе счисления

22 · 89 + 58 = 1958 + 58 = 2016

Запишем в десятичной системе счисления ответ, полученный в пятеричной системе счисления:

31031₅ = 3 · 5⁴ + 1 · 5³ + 0· 5² + 3· 5 + 1= 1875 + 125 + 15 + 1 = 2016.

Тема «Делимость натуральных чисел»