Методика работы над задачами на пропорциональное деление

Структура задач

-даны две переменные величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью и одна постоянная;

-даны два или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений другой переменной;

-слагаемые этой суммы являются искомыми.

Классификация задач.

В начальной школе решаются задачи только с прямо пропорциональной зависимостью величин. Эти задачи представлены в таблице 2

Способы решения задач.

В начальных классах задачи на пропорциональное деление решаются только способом нахождения значения постоянной величины

Организация подготовительной работы.

Подготовкой к решению задач на пропорциональное деление является твердое умение решать задачи на нахождение четвертого пропорционального.

Ознакомление с решением задач.

Начинаем работу с решения задачи на нахождение четвертого пропорционального. Это поможет детям увидеть связь между задачами этих видов, что позволит обобщить способы их решения.

Цена	Количество	Стоимость
Одинаковая	6 тетрадей 4 тетради	18 руб. ?

Предлагаем детям составить задачу по краткой записи:

После ее решения учитель записывает вместо вопросительного знака число, полученное в ответе (12 руб.) Затем он предлагает найти стоимость всех тетрадей (30 руб.), и составить задачу по новому условию:

Цена	Количество	Стоимость
Одинаковая	6 тетрадей 4 тетради	? 30 руб. ?

Дети составляют задачу на пропорциональное деление, ставя два вопроса: «Сколько уплатил первый покупатель?» и «Сколько уплатил второй покупатель?» учитель поясняет, что эти два вопроса можно заменить одним: «Сколько денег уплатил каждый покупатель?» Задача формулируется в окончательном виде.

У: - Что требуется узнать в задаче?

-Что значит «каждый»?

- Можно ли сразу узнать, сколько уплатил первый мальчик?

- Почему нельзя?

- Можно ли сразу узнать цену тетради?

-Почему нельзя?

-Можно ли сразу узнать, сколько купили тетрадей на 30 руб.?

-Почему можно?

-Что узнаем первым действием; вторым; третьим; четвертым?

Далее решаются готовые задачи. При этом надо сначала расчленить вопрос задачи на два вопроса; выяснить, которое из искомых чисел должно быть больше и почему.

Затем переходят к составлению плана решения, ведя рассуждение от вопроса к числовым данным.

Проверка решения выполняется установлением соответствия между числами, полученными в ответе, и данными: надо сложить числа, полученные в ответе, и должно получиться число, данное в задаче.

 

Закрепление умения решать задачи.

Для обобщения способа решения предлагаются задачи 1-го вида с другими группами величин, затем вводятся задачи 2-го вида и несколько позднее 3-го и 4-го видов.

 

Решите кейсы

1. Почему в основе формирования умения решать задачи, по мнению многих методистов (А.В. Белошистая, Т.Е. Демидова, А.П. Тонких, Л.М. Фридман и др.), лежит такой прием, как моделирование? Дайте характеристику этого приема. Приведите примеры использования различных моделей при решении задач, используя работы перечисленных выше авторов.

Характеристика этого приема по методисту А.В Белошистой:

В основу формирования умения решать задачи можно положить прием моделирования, которым дети овладевают в процессе специально организованной деятельности.

Модель — это построенный по определенным правилам аналог исследуемого объекта, процесса, ситуации, который отражает структуру связей и отношений исследуемого объекта и должен быть способен замещать его так, что его изучение дает нам новую информацию об этом объекте. Под моделированием, таким образом, можно понимать способ построения модели.

В процессе решения задачи ученик не может непосредственно исследовать ту ситуацию, которая предлагается ему в тексте задачи. Смысл же процесса решения заключается в том, что данную ситуацию надо описать с помощью математических символов (цифр и знаков действия), т. е. наиболее нужными для ученика являются количественные характеристики этой ситуации и тип связей между ними (объединение, удаление, увеличение и т. д.). Иными словами, чтобы ре­шать задачу, ученик должен отбросить все второстепенные детали и оставить только те, которые нужны непосредственно для составления математического выражения, являющегося решением данной задачи. Выполняя эту операцию (освобождение от ненужных для ре­шения подробностей), ученик строит абстрактную модель реальной ситуации, предлагаемой в задаче. От того, насколько правильно он построит эту модель и какие способы ее построения выберет, зависит правильность решения. Удачно построенная модель должна облегчить ученику процесс решения задачи.

В начальной школе используются разные способы построения модели (моделирования). Моделирование может быть предметным, т. е. модель строится с использованием вещественной, предметной наглядности (в этом случае учитель обычно использует наборное полотно, фланелеграф, специальную полку для кубиков, машин и т. п.). Моделирование может быть графическим, т. е. ситуация, предложенная в задаче, изображается с помощью схемы, схематического чертежа, стилизованного рисунка (когда зайчики изображаются с помощью кружков или треугольников и т. д.).

Все эти варианты моделирования имеют внешнее воплощение, т. е. процесс построения модели отражается в той или иной мере на предметной наглядности, схеме, чертеже, таблице и др. Но моделирование может быть и мысленным, в этом случае ученик представляет себе ситуацию в уме и, пользуясь этой воображаемой моделью, может сразу составить запись решения. О таких детях говорят: решает задачу «по представлению». В этом случае моде­лирование происходит без опоры на материализованные действия.

Все перечисленные виды моделей являются промежуточными, так как конечная цель ученика при решении задачи — запись ее решения в виде математического выражения.

Как и всякому учебному умению, действию моделирования надо учить специально. Использование визуально воспринимаемых моделей позволяет опираться на наглядно-образное мышление ребенка, характерное для младшего школьного возраста. Сензитивным (наиболее удачным) периодом для начальных этапов обучения визуально воспринимаемому моделированию является период обучения в начальной школе. Причем если организовать обучение Моделированию еще на подготовительном этапе, до начала обуче­ния решению задач, то в дальнейшем можно формировать умение решать задачи на базе усвоенных принципов построения модели объекта, ситуации, процесса, явления и т. д.

Основными принципами построения учебной модели являются следующие:

а) модель должна отражать особые (в данном случае количественные) отношения реальной действительности;

б) модель может и должна замещать соответствующие реаль­ные объекты, явления, процессы, ради которых она была создана;

в) модель, отображая структуру исследуемого объекта, процесса, ситуации и т. д. способна замещать его так, что ее изучение дает нам новую информацию об этом объекте, ситуации и т. п.

Средствами построения математической модели могут служить» символы, знаки, рисунки, чертежи, схемы.

Для того чтобы решать задачу, ученик должен уметь переходить от текста к представлению ситуации, а от нее к записи решения» с помощью математических символов. Все эти три модели являются различными моделями одного и того же объекта — задачи. Различаются они тем, что выполнены на разных языках: языке слов, языке образов, языке математических символов.

С этой позиции процесс обучения решению задач можно рассматривать как обучение приемам перевода моделей одного вида в модели другого вида, а моделирование будет выступать в качестве обобщенного способа решения задачи любого типа. Для того чтобы решить любую математическую задачу, ученик должен уметь выполнить двойной переход:

текст —» образ — запись решения.

Сущность перехода от мысленной модели задачи к математической (символической) заключается в правильном выборе арифметических действий, соответствующих смыслу происходящих в задаче изменений. Если мысленная модель, которой руководству­ется ученик при выборе действий, верно отражает структуру свя­зей, то она будет прогнозировать ход ее решения и обусловливать верный выбор действий.

Таким образом, если ребенок владеет арифметической символикой и понимает смысл арифметических действий, этот этап он обычно преодолевает без особых трудностей. Часть учеников, не умеющих решать задачи самостоятельно, довольно успешно справляются с ними, если получают в качестве индивидуальной помощи план ее решения в той или иной форме. План решения в этом случае играет ту же роль, что и мысленная модель, т. е. является схемой способа действия. Таким образом, психологически обучение математической символике и формирование понятия о смысле арифметических действий должны предшествовать обучению решению задач. Если ребенок будет плохо понимать смысл действий и путаться в символах, ему сложно будет осуществить переход от мысленной модели к математической.

В то же время процесс перехода от текста к мысленной модели представляет для многих детей гораздо большую трудность, чем пере­ход от мысленной модели к математической. Дело в том, что в возрасте 6—7 лет у ребенка преобладает наглядно-образное мышление, которое в большой степени зависит от непосредственного восприятия. А это означает, что абстрагироваться, отвлечься от наиболее бросающихся в глаза свойств предмета или конкретных подробностей текста, учени­ку этого возраста очень трудно. Мысленная же модель задачи должна быть достаточно абстрактна. Поскольку она должна помочь ребенку решать математическую задачу, эта модель должна отражать только количественные соотношения предложенной ситуации, а также каким-то образом отразить структурные связи между данными и искомым, чтобы сделать ясным и понятным выбор действий. Опытный учитель знает, что научить младшего школьника решать задачи по самостоятельно выстроенному «представлению», т. е. пользуясь самостоятельно созданной мысленной моделью, если у него нет к тому природных способностей, крайне трудно, и почти всегда в классе есть дети, которые так и не могут этому научиться самостоятельно. Они обычно читают текст задачи «залпом», а потом пытаются угадывать нужные действия, манипулируя числами и «сверяясь» с выражением лица взрослого, наблюдающего этот процесс (учителя, мамы, бабушки, репетитора).

Для того чтобы помочь ученикам в этой ситуации, учителя обычно пользуются наглядностью: сначала предметно-аналитиче­ской (предметы, картинки), а затем более абстрактным ее вариантом (вместо зайцев или яблок используют кружки или квадраты). Использование конкретно воспринимаемого материала помогает ученику осмыслить ситуацию.

Постоянное использование предметного моделирования имеет и отрицательные последствия: как только учитель перестает при­бегать к постоянному использованию предметного моделирования задачи (это обычно происходит при переходе к решению состав­ных задач либо в случае работы с двузначными и более данными, моделировать которые «поштучно» весьма утомительно), часть учеников перестает справляться с задачей. Привыкнув к постоян­ной внешней опоре, даваемой в виде предметной наглядности или картинки, ученик не в состоянии справиться с построением мысленной модели без этой опоры.

Иногда учитель вообще отказывается от каких-либо способов интерпретации условия задачи, делая упор либо на обучение уча­щихся через запоминание способов решения задач определенного типа (обычно с ориентиром на главное слово или выбор из заранее заготовленных шаблонов нужной структуры краткой записи), либо настойчиво добиваясь от всех учащихся умения решать задачи «по представлению». Практика показывает, что первый путь ведет к формальному овладению детьми умением решать задачи. Эти де­ти, столкнувшись с задачей незнакомого типа, обычно не могут с ней справиться. Второй путь приводит к тому, что дети со слабо развитым воображением и математическим «чутьем» обычно оказываются безнадежно отставшими. С другой стороны, не зная, что «представляет» себе ученик в процессе решения задачи, не имея возможности контролировать ход его мысли, учитель никогда не может быть уверен в том, что ученик действительно осмысленно выбирает действие, правильно представляет себе ситуацию задачи.

Рассмотрим ситуацию, типичную для 1 класса. На уроке предлагается задача:

Во дворе гуляло 10 детей. 3 из них были мальчики, остальные — девочки. Сколько было девочек?

Ученик (быстро отвечает). Девочек 7.

Учитель. Какое действие ты выполнил?

Ученик. Я прибавил.

Учитель. Что к чему прибавил?

Ученик. Я прибавил к семи три.

Учитель. Почему к семи? Я же сказала, что детей было 10.

Ученик. Потому что 7 и 3 это 10.

Из приведенного фрагмента становится ясно, что, хотя ученик дал верный ответ, задачу он фактически не решил: действие не соответст­вует смыслу связи между данными и искомым. Правильный ответ дан в связи с тем, что к этому времени (2 полугодие) дети хорошо знают состав числа и зачастую пользуются этим знанием при решении про­стых задач, не утруждая себя осмыслением ситуации, а используя под­бор подходящих чисел. Иногда учителя (и родители) считают, что в этом случае ребенок решает задачу «своим способом». Но предста­вим себе, что данная ситуация «достраивается» до составной задачи: «Потом на двор вышли еще 2 девочки. Сколько теперь девочек?»

Если ребенок первое действие выполнил так, как показано выше: 7 + 3 = 10 (д.), то вторым действием он выполнит 10 + 2 = 12 (д.), поскольку результат первого действия есть начало для выполне­ния второго действия.

Использование приема моделирования уже на этапе подготов­ки к введению задачи и в процессе обучения решению простых за­дач приводит к тому, что в дальнейшем ребенок будет использо­вать моделирование как обобщенный способ действия в процессе решения математической задачи любого типа. Тем самым снимется необходимость в выработке особых подходов к задачам разного ти­па, в том числе простым и составным. Обученный моделированию

как основному приему решения задач, понимая процесс решения как перевод модели одного вида в модель другого вида, при кото­ром структурные связи остаются неизменными, а изменяется толь­ко способ описания модели, ученик легко использует этот прием при решении задач разных типов.

Примеры:

Прием моделирования заключается в том, что для исследования какого-либо объекта (в нашем случае текстовой задачи) выбирают (или строят) другой объект, в каком-то отношении подобный тому, который исследуют. Построенный новый объект изучают, с его помощью решают исследовательские задачи, а затем результат переносят на первоначальный объект. Модели бывают разные, и поскольку в литературе нет единообразия в их названиях, уточним терминологию, которую будем использовать в дальнейшем. Все модели можно разделить на схематизированные и знаковые по видам средств, используемых для построения.

Схематизированные модели, в свою очередь, делятся на вещественные и графические в зависимости от того, какое действие они обеспечивают.

Вещественные (или предметные) модели текстовых задач обеспечивают физическое действие с предметами. Они могут строиться из каких – либо предметов (пуговиц, спичек, бумажных полосок и т. д.), они могут быть представлены разного рада инсценировками сюжета задач. К этому виду моделей причисляют и мысленное воссоздание реальной ситуации, описанной в задаче, в виде представлений.

Графические модели используются, как правило, для обобщенного, схематического воссоздания ситуации задачи. К графическим следует отнести следующие виды моделей:

1. рисунок;

2. условный рисунок;

3. чертеж;

4. схематичный чертеж (или просто схема).

Разъясним суть этих моделей на примере задачи: «Марина нарисовала 4 домика, а Вова на 3 домика больше. Сколько домиков нарисовал Вова?»

             Рисунок в качестве графической модели этой задачи имеет вид:

М.

В.    

                           ?

Условный рисунок может быть таким, как на рисунке:

М.

В.

                    ?

Чертеж как графическая модель выполняется при помощи чертежных инструментов с соблюдением заданных отношений.

М.           1д.

В.

                       ?

Схематический чертеж (схема) может выполнятся от руки, на нем указываются все данные и искомые.

М. – 4д.

В. –? на 3 д. больше  ?

Знаковые модели могут быть выполнены как на естественном, так и на математическом языке. К знаковым моделям, выполненным на естественном языке, можно отнести краткую запись задачи, таблицы. Например, краткая запись задачи о домиках Лиды и Вовы может быть такой:

М. – 4 д.

В. -?, на 3 д. больше, чем

Таблица как вид знаковой модели используется главным образом тогда, когда в задаче имеется несколько взаимосвязанных величин, каждая из которых задана одним или несколькими значениями.

Знаковыми моделями текстовых задач, выполненных на математическом языке, являются: выражение, уравнение, система уравнений, запись решения по действиям. Поскольку на этих моделях происходит решение задачи, их называют решающими моделями. Остальные модели, все схематизированные и знаковые, выполненные на естественном языке, - это вспомогательные модели, которые обеспечивают переход от текста задачи к математической модели. Не следует думать, что всякая краткая запись или чертеж, выполненные для данной задачи, являются ее моделями. Так как модель – это своеобразная копия задачи, то на ней должны быть представлены все ее объекты, все отношения между ними, указаны требования. Для большинства текстовых задач приходится строить различные вспомогательные модели. С одной стороны, эти модели представляют собой результат анализа задачи, но с другой – построение таких моделей организует и направляет детальный и глубокий анализ задачи.

 

2. Сделайте краткую запись задачи: «В зале в первом ряду сидели 7 человек, а во втором на 3 человека больше. Сколько человек было в первом и во втором ряду вместе?» Подумайте, какую работу нужно организовать учителя при решении задачи, какие приемы обучения использовать. С какими задачами можно сравнить данную? Сделайте для этих задач краткую запись. Конкретизируйте на примере данной задачи прием преобразования (вопроса, условия, одного из данных).

Если бы я рассматривала эту задачу вместе с детьми на уроке математики, то организовала следующую работу:

1 – чтение задачи

2 -  составление краткой записи к задаче или схемы (в данной задаче я бы использовала краткую запись)

3 – решение задачи (1 обучающийся у доски)

Далее я бы использовала методический приём преобразования:

- Ребята, измените вопрос так, что бы задача решалась в одно действие.

Можно использовать методический приём сравнения. Можно предложить ребятам две кратких записи на выбор. Одна будет правильной, другая нет.

3. Какую ошибку могут допустить обучающиеся при решении задачи: «Нужно покрасить 150 рам. Один маляр может это сделать за 15 дней, другой за 10. За сколько дней выполнят эту работу оба маляра, если будут работать вместе?» Как предупредить появление ошибки? Составьте беседу для разбора задачи.

В данной задаче дети могут допустить ошибку в составлении краткой записи (распространенная ошибка в задачах на производительность, далее эта ошибка приведет к неправильному решению). Следующая ошибка – дети могут сложить дни и забыть поделить их на кол-во дней.

Данную задачу обязательно нужно подробно рассмотреть.

Решить задачу можно двумя способами, но в качестве первого способа подойдет следующий:

- Ребята, прочитайте задачу. О чем говорится в задаче? Что мы будем находить?

- Составьте краткую запись к задаче.

- Первое, что нам нужно сделать – это определить сколько рам в день красит маляр, который 150 рам может покрасить за 15 дней. Как мы это найдем? (на данном этапе дети могут 150 умножить на 15!):

150: 15 = 10 (р.)

- Мы можем найти сколько рам за один день покрасит второй маляр?

150: 10 = 15 (р.)

- Мы с вами нашли сколько по отдельности выполняют работу оба моляра. Теперь нам надо узнать, сколько в один день они красили бы рам, если бы работали вместе. Как мы это узнаем?

10+15= 25(р.)

- Мы можем ответить на главный вопрос задачи? Как мы узнаем дни, за которые они покрасят 150 оконных рам вместе?

150: 25 = 6 (дн.)

- Можно ли решить данную задачу другим способом?

15+10 = 25 (дн.) количество дней, которое потребуется для работы маляров

150:25 = 6 (дн.)

- Запишите ответ.