Алгоритм нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба графика функции

22.06.2020

 

Тема занятия «Вторая производная, ее геометрический и физический смысл»

 

План занятия

 

1. Посмотреть видеоуроки:

https://www.youtube.com/watch?v=2VTPPc8psi4

https://www.youtube.com/watch?v=c6EvT2Gmxtk

 

2. Записать все в конспект:

Пусть функция у = f(x) имеет производную f '(x). Это новая функция, которая, в свою очередь, может иметь производную.

Производная функции f '(x) называется второй производной функции y = f(x) и обозначается f ''(x) или у".

Пример 1. Найти у", если у = х ¹⁰.

Решение. Имеем у ' = (х ¹⁰) ' = 10 х ⁹

у"  = (у')' = (10 х ⁹) ' = 10·9 х ⁸ = 90 х ⁸

 

Геометрический смысл второй производной

При помощи первой производной можно исследовать функцию на монотонность и экстремумы и схематично построить график. Оказывается, что поведение некоторых функций не всегда можно охарактеризовать, используя первую производную. Более детальное исследование проводится при помощи второй производной.

Кривая у = f(x) называется выпуклой на интервале (а; b), если все её точки, кроме точки касания, лежат ниже произвольной её касательной на этом интервале (на рис. 1 – 1).

Кривая у = f(x) называется вогнутой на интервале (а; b), если все её точки, кроме точки касания, лежат выше произвольной её касательной на этом интервале (на рис. 1 – 2).

Точкой перегиба называется такая точка кривой, которая отделяет её выпуклую часть от вогнутой.

 

Рис. 1

 

Интервалы выпуклости и вогнутости находят при помощи такой теоремы.

Теорема. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции у = f(x) отрицательна (f'(x) < 0) на интервале (а; b), то кривая у = f(x) выпуклая на данном интервале; если вторая производная функции у = f(x) положительная (f'(x) > 0), то кривая вогнутая на (а; b).

 

Из теоремы следует, что точками перегиба кривой у = f(x) могут быть только точки, в которых вторая производная f'(x) равна нулю или не существует. Такие точки называют критическими точками второго рода.

Установим достаточное условие существования точки перегиба.

Теорема. Пусть х₀ – критическая точка второго рода функции у = f(x). Если при переходе через точку производная f ''(x) меняет знак, то точка (x₀; f(x₀)) является точкой перегиба кривой у = f (x).

Алгоритм нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба графика функции

1) найти область определения функции;

2) найти критические точки второго рода;

3) определить знак второй производной на образованных интервалах. Если f"(x) < 0, то кривая выпуклая; если f"(x) >0 – кривая вогнутая;

4) если производная f'(x) меняет знак при переходе через точку х₀, то точка (х₀; f(x₀)) является точкой перегиба кривой у = f(x).

 

Пример 2. Найдите интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба кривой    у = х ⁴ – 6 х ² + 5.

Решение.

1) Область определения функции: D(y) = R.

2) Найдём вторую производную:

у' = 4 х³ – 12 х;

у" = 12 х ² – 12 = 12(х ² – 1).

Критические точки второго рода: х ₁ = –1, х ₂ = 1.

Других критических точек нет.

3) Разбиваем область определения на интервалы (; 1), (–1; 1), (1; ) и определяем знак второй производной на каждом из них.

Если х  (; 1), то у"(х) > 0, поэтому кривая вогнутая.

Если х  (–1; 1), то у"(х) < 0, поэтому кривая выпуклая.

Если х  (1; ), то у"(х) > 0 – кривая вогнутая.

Следовательно, точки (–1; 0) и (1; 0) – точки перегиба кривой.