II. Таблица интегралов

Неопределённый интеграл и его свойства. Формулы интегрирования.

I. Определение неопределённого интеграла.

ОПР. Совокупность всех первообразныхна заданном интервале называется неопределённым интегралом.      знак интеграла

F(x) + С = -                      Читается: интеграл эф от х по dx

f(x) -  функция;       dx – дифференциал;      f(x)dx – подинтегральное выражение.

II. Таблица интегралов

III Свойства неопределённого интеграла

1) Интеграл суммы функций равен сумме интегралов:
    ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx.

2) Постоянный коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла:
    ∫kf(x)dx = k ∫f(x)dx.

3) Метод интегрирования по частям
    ∫udv = uv − ∫vdu, где u(x), v(x) − дифференцируемые функции.

IV Определенный интеграл

ОПР. Интеграл вида  называется определённым интегралом, где  a, b – пределы интегрирования.       а – нижний предел, b – верхний предел.

Формула нахождения определённого интеграла называется формулой Ньютона-Лейбница. (Н-Л будем писать далее коротко)

  Согласно формуле определённый интеграл есть число, которое определяется по формуле Н-Л: = F(x) = F(b) - F(a), (| - подстановка, F(x) первообразная)

V Свойства определённого интеграла

1. Определенный интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций:      =  +   

Определенный интеграл от разности функций равен разности интегралов от этих функций:       =  −

2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
 = k

3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл изменяет знак на противоположный:
 = −

4. Если верхний предел равен нижнему, то определенный интеграл равен нулю:
 = 0

VI Вычисление определённого интеграла

         Для вычисления определённого интеграла от функций f(x) надо найти соответствующий неопределённый интеграл и найти разность значений при верхнем и нижнем пределах интегрирования, применяя формулу Ньютона-Лейбница.

            Определённый интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

       Примеры вычисления интегралов:

1.  = sin x + 1x + C

2. =

3.

Важно! При вычислении неопределённого интеграла в ответе всегда стоит + С.

При вычислении определённого интеграла в ответе всегда получаем ЧИСЛО.

Существуют ещё свойства определённого интеграла

5. Определенный интеграл от единицы равен длине интервала интегрирования:  = b − a

6. Пусть точка c принадлежит отрезку [a,b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на отрезке [a,b] равен сумме интегралов на частичных промежутках [a,c] и [c,b]:                        = +  

7. Метод подстановки для определенного интеграла
Если x=g(t), то = , где c=g^-1(a), d=g^-1(b).

(Из лекции можно распечатать таблицу интегралов, остальное конспектировать!!!)