Рассмотрим криволинейную трапецию, т.е. фигуру, ограниченную прямыми х =а и х =b, осью О х и функцией y =f(x). Требуется найти объём тела вращения, образованного вращением криволинейной трапеции вокруг оси О х. Объём данного тела вычисляется по формуле:
Если криволинейная трапеция вращается вокруг оси Оу, тогда объём определяется формулой:
Если плоская фигура, ограниченная двумя непрерывными функциями y= f 1(х), y= f 2(х), f 1(х) £ f 2(х) и прямыми х = а, у = b, a < b, вращается вокруг оси ОХ, то объем тела вращения вычисляется по формуле:
.
Если указанная фигура вращается вокруг оси O y, то объем соответствующего тела вращения может быть вычислен по формуле:
, (здесь a ³0).
Пример 2.
1. Строим заданные кривые и плоскую фигуру, вращающуюся вокруг оси ОХ (рис. 12).
2. .
3. Применяем формулу (1).
.
4.
.
5. (ед.3).
Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра
Объём призмы: Объём цилиндра:
|
|
Формулы объема шара и площади сферы
Тело | Объём | Площадь боковой поверхности | Площадь полной поверхности |
Наклонная призма | V=Sпсa, | Sб=Pпсa, | Sп=Sб+2Sосн, |
Прямоугольный параллелепипед | V=abc, | Sб=2c(a+b), | Sп=2(ab+bc+ac), |
Куб | V=a3 | Sб=4a2 | Sп=6a2 |
Пирамида | равна сумме площадей её боковых граней | Sп=Sб+2Sосн, | |
Усеченная пирамида | равна сумме площадей её боковых граней | Sп=Sб+S1+S2, | |
Цилиндр | V=π R 2H | Sб=2π R H | Sп=2π R H + 2p R2, |
Конус | Sб=2π R L | Sп=2π R (R+L), | |
Усеченный конус | Sб=π L (R+r), | Sп=π L (R+r)+p R2+p r2, | |
Сфера и шар | S=4πR2, |