Статистическое определение вероятности

1) Вероятность события - число, относительно которого группируются значения частоты данного события в различных сериях большого числа испытаний                                                                                         

2) Относительная частота события- это доля тех фактически проведенных испытаний, в которых событие А появилось.

Это опытная экспериментальная характеристика, где m- число опытов, в которых появилось событие А; n- число всех проведенных опытов.

Если классическое определение вероятности осуществляется до опыта, то статистическое после опыта по результатам.

 

Вопрос 2 Понятие о совместных и несовместных событиях, зависимых и независимых.

Случайные события А1, А2,..Аn называются:

Совместные - если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Несовместные - если наступление одного события исключает появление другого.

Зависимое событие: вероятность появления одного из них зависит от появления другого.

Независимое событие: если вероятность появления одного из них не зависит от появления или не появления другого.

Условная вероятность события B- вероятность события B, найденная при условии, что событие A произошло. P(B/A)

Вопрос 3 Теоремы умножения и сложения вероятностей.

Сумма двух событий- это такое событие, при котором происходит хотя бы одно из этих событий (А или В).

Вероятность суммы:

Несовместных событий означает наступление или события А или события В и равна сумме вероятностей этих событий: P(A+B)= P(A) + P(B).

Совместных событий обозначает наступление события А или события В, или обоих событий вместе и равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: P(A+B)= P(A) + P(B) – P(AB)

Теорема умножения вероятностей.

  Произведение двух событий- это событие, состоящее в совместном появлении этих событий (А и В).

Вероятность совместного появления:

Независимых событий равна произведению вероятностей появления каждого из них: P(A*B)=P(A)*P(B)

Зависимых событий: P(A*B)=P(A)*P(B/A)

 

Вопрос 4 Распределение дискретных и непрерывных случайных величин. Их характеристики: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Случайная величина - это величина, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение заранее неизвестное.

Случайные величины: дискретные (счет: 1-2-3..) и непрерывные (измерения: Амперы, Вольты..)

Дискретная случайная величина - случайная величина, когда принимает отдельное изолированное, счетное множество значений.

Непрерывная случайная величина- случайная величина, принимающая любые значения из некоторого интервала.

Распределение = закон распределения - это совокупность значений случайной величины и вероятностей их появления.

Способы задания величин: табличный (дискретные), аналитический, графический.  

Характеристики:

Математическое ожидание - сумма произведений случайных величин на вероятность их появления.

Для дискретных случайных величин: а)

Для непрерывных случайных величин: б)

а)                         б)

                                             

Дисперсия - рассеяние вокруг математического ожидания.

Для дискретных случайных величин:

Для непрерывных случайных величин:

Среднее квадратическое отклонение случайной величины- корень квадратичный из дисперсии.

Стандартное отклонение

Вопрос 5. Нормальный и экспоненциальный законы распределения неперывных случайных величин.

Нормальный закон распределения (НРЗ) = Закон Гусса - распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается дифференциальной функцией.

Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения, если ее плотность вероятности имеет вид:

Свойства плотности распределения вероятностей:

1) Она колоколообразная ("колокол Гаусса").

2) Плотность определяется двумя параметрами: математическим ожиданием (µ) и средним квадратическим отклонением (σ).

3) Кривая сдвигается вправо, если среднее увеличивается при постоянном квадратическом отклонении, и сдвигается влево, если среднее уменьшается.

4) Кривая расширяется, если среднее квадратическое отклонение σ увеличивается (если среднее постоянно).

5) Кривая становится более остроконечной с меньшей шириной основания колокола, если σ уменьшается при среднем постоянном (площадь под графиком всегда равна 1) (рис.в).

Рис. Кривая нормального закона распределения и ее изменение при изменении параметров

Дополнительные свойства:

«Правило трех сигм»

   

Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина X находится между (µ-σ) и (µ+σ), равна 0,68, т.е. 68% случайной величины X отличается от среднего не более чем на одно стандартное отклонение ±σ.

Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина X находится между (µ-2σ) и (µ+2σ), равна 0,95, т.е. примерно 95% случайной величины X отличается от среднего на два стандартных отклонения ±2σ.

Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина X находится между (µ-3σ) и (µ+3σ), равна 0,99, т.е. 99% (практически достоверно). Это свойство носит название правило трех сигм