Практическая работа № 8
по теме: «Нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса».
Пояснительная записка
Практическая работа предназначена для повторения теоретических и практических знаний по теме.
Цель работы – повторить понятия: тригонометрических функций, радианной меры углов, таблицы значений тригонометрических функций, формулы перевода градусов в радианы и наоборот, определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса числа и подготовится к занятию по теме «Арксинус, арккосинус, арктангенс числа».
Данное пособие рекомендовано для студентов первого курса. Пособие содержит определения, свойства и формулы по теме: Арксинус, арккосинус, арктангенс числа, тест для самоконтроля.
Пособие направлено на формирование навыков самостоятельной работы с учебным материалом, формирование навыков решения задач, формирование и развитие творческого потенциала, повышение интереса к дисциплине.
Арксинус, арккосинус, арктангенс числа
Арксинус
|
|
Чтобы больше понять о свойствах арксинуса, необходимо рассмотреть его функцию. График y = arcsin x имеет вид асимметричной кривой, проходящей через центр координат.
Свойства арксинуса:
1.
2. Так как f(x) нечетная, то arcsin (- x) = — arcsin x.
3. Y = 0 при x = 0.
4. На всей своей протяженности график возрастает.
Если сопоставить графики sin и arcsin, у двух тригонометрических функций можно найти общие закономерности.
Арккосинус
Arccos числа а — это значение угла α, косинус которого равен а.
Кривая y = arcos x зеркально отображает график arcsin x, с той лишь разницей, что проходит через точку π/2 на оси OY.
Рассмотрим функцию арккосинуса более подробно:
1. Функция определена на отрезке [-1; 1].
2. ОДЗ для arccos — [0, π].
3. График целиком расположен в I и II четвертях, а сама функция не является ни четной, ни нечетной.
4. Y = 0 при x = 1.
5. Кривая убывает на всей своей протяженности. Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.
Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.
Задание 1. Укажите функции изображенные на рисунке.
Ответ: рис. 1 – 4, рис.2 — 1.
Арктангенс
Arctg числа a – это такое значение угла α, что его тангенс равен а.
Если рассмотреть график арктангенса, можно выделить следующие свойства:
1. График бесконечен и определен на промежутке (- ∞; + ∞).
2. Арктангенс нечетная функция, следовательно, arctg (- x) = — arctg x.
3. Y = 0 при x = 0.
4. Кривая возрастает на всей области определения.
Приведем краткий сравнительный анализ tg x и arctg x в виде таблицы.
Арккотангенс
Arcctg числа a — принимает такое значение α из интервала (0; π), что его котангенс равен а.
|
|
Свойства функции арккотангенса:
1. Интервал определения функции – бесконечность.
2. Область допустимых значений – промежуток (0; π).
3. F(x) не является ни четной, ни нечетной.
4. На всем своем протяжении график функции убывает.
Сопоставить ctg x и arctg x очень просто, нужно лишь сделать два рисунка и описать поведение кривых.
Задание 2. Соотнести график и форму записи функции.
Если рассуждать логически, из графиков видно, что обе функции возрастающие. Следовательно, оба рисунка отображают некую функцию arctg. Из свойств арктангенса известно, что y=0 при x = 0,
Ответ: рис. 1 – 1, рис. 2 – 4.
Пример 1. Вычислить значение .
Решение. Если обозначить , то . Из определения функции следует, что и . Так как , то и .
Однако , поэтому .
Ответ: .
Пример 2. Вычислить значение .
Решение. Если , то . Согласно определению функции , имеем и . Так как , то .
Поскольку и , то .
Ответ: .
Пример 3. Вычислить значение .
Решение. Пусть , тогда и , где . В таком случае и .
Поскольку , то .
Ответ: .
Пример 4. Вычислить значение . Решение. Так как , то или . Обозначим , тогда , . Поскольку , то .
Если , то , или . Однако , поэтому , и .
Ответ: .
Пример 5. Вычислить значение .
Решение. Если положить и , то или
, (1)
где из определения функции имеем и .
Однако и , поэтому и . В таком случае , и , .
Если , то , или . Поскольку , то .
С учетом того, что и , имеем и .
Если , то повторяя рассуждения, приведенные выше, получаем , и , .
Подставляя значения , , , в выражение (1) получаем .
Ответ: .
Примечание. Так как в примере 5 показано, что , где , и , то справедливо равенство
.
Отсюда также следует, что .
Пример 6. Вычислить значение .
Решение. Из определения функции следует, что . Из условия примера получаем .
Так как , то имеем уравнение или . Далее, принимая во внимание теорему 1, записываем две серии корней уравнения вида
и ,
где целые числа. Если положить , то из второй серии корней вытекает единственное значение , которое удовлетворяет двойному неравенству .
Ответ: .
Пример 7. Вычислить значение .
Решение. По определению функции имеем . Из условия следует, что , или
. (2)
Согласно теореме 2, здесь имеем две серии корней уравнения (2):
и , где целые числа.
Так как , то из первой серии корней при условии, что , получаем .
Ответ: .
Тест по теме Арксинус, арккосинус, арктангенс числа
Найдите значение выражения:
1. аrcsin (- )
а) ; б) ; в) -
2. arcos (- )
а) - ; б) ; в)
3. arctg
а) ; б) - ; в) 1
4. arctg 1 + arcos 1
а) ; б) 0; в)
5. аrcsin (- ) + arcos (- )
а) ; б) ; в) -
6. cos (arcos
а) ; б) - ; в) 1
7. arcos (cos )
а) ; б) ; в) -