Высказывание ложно.
По теореме о существовании разности (разность натуральных чисел а и b существует тогда и только тогда, когда вычитаемое меньше уменьшаемого) имеем (∃ a, bЄN) a – b
b < a.
Если b – a, то с(разность) – отрицательное число.
Следовательно, разности натуральных чисел b – a не существует. Значит, высказывание ложно.
B. Формула деления с остатком: a=bq+r, 0<r<b.
Высказывание верно.
Определение: говорят, что число а делится на число b натуральное с остатком тогда и только тогда, когда найдутся два числа, c – неполное частное и r –остаток, такие, что число а будет представлено в виде суммы произведения b и c и остатка r. Следовательно, формула деления с остатком записана верно.
C. Число m называют общим кратным чисел а и b, если m:a и m:b.
Высказывание верно
Определение:
Общим кратным чисел а и b называется такое число m, которое кратно числу а и числу b.
Например, 24 – общее кратное чисел 3 и 12, т.к. 24:3=8 и 24:12=2
.
Т3. На 9 делится следующее число:
а) 214678;
б) 6534481;
в) 783242;
г) 439677.
Признак делимости на 9: число делится на 9, если его сумма цифр кратна 9.
а) 214678 не делится на 9, т.к. 2+1+4+6+7+8=28, 28 не кратно 9;
б) 6534481 не делится на 9, т.к. 6+5+3+4+4+8+1=31, 31 не кратно 9
в) 783242 не делится на 9, т.к. 7+8+3+2+4+2=26, 26 не кратно 9
г) 439677 делится на 9, т.к. 4+3+9+6+7+7=36, 36 кратно 9
Ответ: г)
Т4. В какое число вместо (*) надо поставить цифру 5, чтобы число делилось на 9:
а) 54*0;
б) 3*55;
в) 971*;
г) 69*6.
Признак делимости на 9: число делится на 9, если его сумма цифр кратна 9.
а) 5450 не делится на 9, т.к. 5+4+5+0 = 14, 14 не кратно 9.
б) 3555 делится на 9, т.к. 3+5+5+5=18, 18 кратно 9
в) 9715 не делится на 9, т.к. 9+7+1+5=22, 22 не кратно 9
г) 6956 не делится на 9, т.к. 6+9+5+6=26, 26 не кратно 9.
Ответ: б)
Т5.
Всегда ли число делится на 10, если:
а) его последняя цифра 0;
б) оно кратно 2;
в) оно не кратно 2;
г) оно кратно 5.
Признак делимости на 10: число делится на 10 тогда и только тогда, когда его запись оканчивается на 0.
10 – число составное. Для того, чтобы число х делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и 5.
а) да, согласно признаку делимости
б) нет, т.к. этого недостаточно. Нужно, чтобы число х делилось на 2 и на 5
например, 22 делится на 2, но не делится на 5.
в) нет, т.к. нужно, чтобы число х делилось на 2 и на 5.
г) нет, нет, т.к. этого недостаточно. нужно, чтобы х делилось на 2 и на 5
например, 15 делится на 5, но не делится на 2
Ответ: а) да, б)нет, в)нет, г)нет
Т6.
На 15 делится значение следующих выражений:
а) 230·18;
б) 125·17;
в) 345+120+180+465;
г) 315-135.
15
| ||||
|
Признак делимости на 5: число делится на 5 тогда и только тогда, когда его десятичная запись оканчивается цифрой 0 или 5.
Признак делимости на 3: число делится на 3, если его сумма цифр кратна 3
а) 230·18
230 делится на 5, т.к. оканчивается цифрой 0
18 делится на 3, т.к. 1+8=9, 9 кратно 3
По теореме: Если в произведении двух чисел а и b первый множитель делится на число m, а второй множитель делится на число n, то произведение чисел а и b делится на произведение чисел m и n, где m и n - натуральные числа
Значит, 230·18 делится на 15
б) 125·17
125 делится на 5, т.к. оканчивается цифрой 5,
17 не делится на 5, т.к. оканчивается 7
17 не делится на 3, т.к. 1+7=8, 8 не кратно 3.
Теорема: Если в произведении двух чисел а и b первый множитель делится на число m, а второй множитель делится на число n, то произведение чисел а и b делится на произведение чисел m и n, где m и n - натуральные числа не сработала.
Значит, 125·17 не делится 15.
в) 345+120+180+465
345 делится на 15, т.к. 345 делится на 5 (оканчивается на 5) и 3 (3+4+5=12, 12 кратно 3)
120 делится на 15, т.к. 120 делится на 5(оканчивается на 0) и 3 (1+2+0=3, 3 кратно 3)
180 делится на 15, т.к. 180 делится на 5(оканчивается на 0) и 3 (1+8+0=9, 9 кратно 3)
465 делится на 15, т.к. 465 делится на 5 (оканчивается на 5) и 3 (4+6+5=15, 15 кратно 3)
Теорема «Достаточный признак делимости суммы»: Если каждое слагаемое делится на натуральное число b, то и вся сумма делится на это число.
Значит, 345+120+180+465 делится на 15.
г) 315-135
315 делится на 15, т.к. 315 делится на 5 (оканчивается на 5) и 3 (3+1+5=9, 9 кратно 3)
135 делится на 15, т.к. 135 делится на 5 (оканчивается на 5) и 3 (1+3+5=9, 9 кратно 3)
Теорема «Достаточный признак делимости разности»: Если числа а и bделятся на с и при этом число а больше или равно b, то разность а и b тоже будет делится на с.
Значит, 315-135 делится на 15.
Ответ: а), в), г)
Т7. Выберите взаимно простые числа:
1. 190;
2. 24;
3. 51;
4. 105.
Если НОД двух целых неотрицательных чисел a и b равен 1, то эти числа a и b называются взаимно простыми.
190 2
95 5
19 19
1
190 = 2·5·19·1
24 2
12 2
6 2
3 3
1
24=23·3·1
51 3
17 17
1
51=3·17·1
105 3
35 5
7 7
1
105=3·5·7·1
190 и 51 – взаимно простые числа
Ответ: 1 и 3.
Т8. Наименьшим общим кратным чисел 35 и 21 является число:
а) 7;
б) 42;
в) 105;
г) 210.
Найдем НОК, используя способ канонического разложения чисел
35 5
7 7
1
35=7·5
21 3
7 7
1
21=3·7
НОК (35, 21) = 7·3·5= 105
Ответ: в)
Т9. Дано А={31, 19, 143, 139, 257, 213, 169}. Выберите из множества А подмножество простых чисел:
а) {31, 19, 143, 257};
б) {19, 31, 139, 213, 257};
в) {19, 31, 139, 257};
г) {31, 139, 257, 213}.
Простым числом называется натуральное число, которое имеет ровно 2 делителя – 1 и само себя.
Найдем по таблице простых чисел простые числа, которые входят в наше множество: 31, 19, 139, 257. Значит, подходящее подмножество простых чисел под буквой в)
Ответ: в)
Т10.
Дано a=25·34·52·11; b=23·36·53·72. Тогда НОК(a, b)=
а) 23·34·52;
б) 25·36·53·72·110;
в) 25·36·53·72·11;
г) 215·324·56·72·11.
a=25·34·52·11
b=23·36·53·72
Чтобы найти НОК чисел a и b, нужно из канонического разложения взять каждый множитель в наибольшей степени и перемножить.
НОК (a, b) = 25·36·53·11·72
ь
Ответ:в)
Т11.
В какой степени число 7 входит в разложение на множители числа 12!=1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10∙11∙12:
а) 10;
б) 1;
в) 6;
г) 11.
12!=1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9∙10∙11∙12
Разложим число на простые множители: 12!=1∙2∙3∙2∙2∙5∙2∙3∙ 7 ∙2∙2∙2∙9∙2∙5∙11∙2∙2∙3∙
Число 7 входит в разложение на множители числа 12! один раз, значит, в первой степени
Ответ: б)