2020-07-12
819
Прежде всего заметим, что сечение выпуклого многогранника есть выпуклый плоский многоугольник, вершины которого в общем случае являются точками пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а стороны с его гранями.
Примеры построения сечений:
Способы задания сечения весьма разнообразны. Наиболее распространенным из них является способ задания секущей плоскости тремя точками, не лежащими на одной прямой.
Пример 1. Для параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. Построить сечение проходящее через точки M, N, L. 
Решение: 
Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA1D1D.
Пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром A1D1, они лежат в одной плоскости AA1D1D. Получим точку X1.
Точка X1 лежит на ребре A1D1, а значит и плоскости A1B1C1D1, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.
X1 N пересекается с ребром A1B1 в точке К.
Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA1B1B.
Найдем прямую пересечения плоскости сечения с плоскостью DD1C1C: 
Пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром DD1, они лежат в одной плоскости AA1D1D, получим точку X2.
Пересечем прямую KN (принадлежащую сечению) с ребром D1C1, они лежат в одной плоскости A1B1C1D1, получим точку X3; 
Точки X2 и X3 лежат в плоскости DD1C1C. Проведем прямую X2 X3, которая пересечет ребро C1C в точке T, а ребро DC в точке P. И соединим точки L и P, лежащие в плоскости ABCD.
Таким образом, задача считается решенной, если найдены все отрезки, по которым плоскость пересекает грани многогранника, что и мы сделали. MKNTPL - искомое сечение.
Заметим. Эту же самую задачу на построение сечения, можно решить воспользуевавшийся свойством параллельных плоскостей.
Из выше сказанного можно составить алгоритм (правило) решения задач, данного типа.
Правила построения сечений многогранников:
1. проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости;
2. ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого:
a. ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);
b. параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым. 
Пример 2. Построить сечение пирамиды АВСD плоскостью, проходящей через точки К, L, M
Решим аксиоматическим методом:
Проведем вспомогательную плоскость DKM, которая пересекает ребра АВ и ВС в точках Е и F (ход решение на рис 2.). Построим «след» КМ плоскости сечения на этой вспомогательной плоскости, найдем точку пересечения КМ и ЕF – точку Р. Точка Р, как и L, лежит в плоскости АВС, и можно провести прямую, по которой плоскость сечения пересекает плоскость АВС(«след» сечения в плоскости АВС.)
Пример 3. На ребрах AB и AD пирамиды MABCD зададим соответственно точки P и Q - середины этих ребер, а на ребре MC зададим точку R. Построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки P, Q и R.
Решение проведем комбинированным методом:
1). Ясно, что основным следом плоскости PQR является прямая PQ.
2). Найдем точку К, в которой плоскость МАС пересекает прямую PQ. Точки К и R принадлежат и плоскости PQR, и плоскости MAC. Поэтому, проведя прямую KR, мы получим линию пересечения этих плоскостей.
3). Найдем точку N=AC BD, проведем прямую MN и найдем точку F=KR MN.
4). Точка F является общей точкой плоскостей PQR и MDB, то есть эти плоскости пересекаются по прямой, проходящей через точку F. Вместе с тем так как PQ - средняя линия треугольника ABD, то PQ параллена BD, то есть прямая PQ параллельна и плоскости MDB. Тогда плоскость PQR, проходящая через прямую PQ, пересекает плоскость MDB по прямой, параллельной прямой PQ, то есть параллельной и прямой BD. Поэтому в плоскости MDB через точку F проведем прямую, параллельную прямой BD.
5). Дальнейшие построения понятны из рисунка. В итоге получаем многоугольник PQD'RB' - искомое сечение
Рассмотрим сечения призмы для простоты, то есть удобства логических размышлений рассмотрим сечения куба (рис.3.а): 
Рис. 3.а
Сечения призмы плоскостями, параллельными боковым ребрам, является параллелограммами. В частности, параллелограммами являются диагональные сечения (рис. 4).
Опр. Диагональным сечением призмы называется сечение плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.
Многоугольник, получающийся при диагональном сечении призмы, является параллелограммом. Вопрос о числе диагональных сечений n-угольной призмы труднее, чем вопрос о числе диагоналей. Сечений будет столько же сколько диагоналей у основания. Мы знаем, что у выпуклой призмы в основаниях – выпуклые многоугольники, а у выпуклого n-угольника диагоналей. И так можно говорить, что диагональных сечений вдвое меньше, чем диагоналей.
Заметим: При построении сечений параллелепипеда на рисунке следует учитывать тот факт, что если секущая плоскость пересекает две противоположные грани по каким – то отрезкам, то эти отрезки параллельны «по свойству параллелепипеда т.е. противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.»
Дадим ответы на часто возникающие вопросы:
1. Какие многоугольники получаются в сечении куба плоскостью?
«треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник».
2. Может ли в сечении куба плоскостью получиться семиугольник? А восьмиугольник?
«не могут».
3)Возникает вопрос чему равно наибольшее число сторон многоугольника, полученного сечением многогранника с плоскостью?
Наибольшее число сторон многоугольника, полученного в сечении многогранника плоскостью, равно числу граней многогранника.
Пример 3. Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки M, N, P (точки указаны на чертеже (рис.6)).
Решение:
Рис. 6
Точки N и P лежат в плоскости сечения и в плоскости нижнего основания параллелепипеда. Построим прямую, проходящую через эти точки. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскость основания параллелепипеда.
Продолжим прямую, на которой лежит сторона AB параллелепипеда. Прямые AB и NP пересекутся в некоторой точке S. Эта точка принадлежит плоскости сечения.
Так как точка M также принадлежит плоскости сечения и пересекает прямую АА1 в некоторой точке Х.
Точки X и N лежат в одной плоскости грани АА1D1D, соединим их и получим прямую XN.
Так как плоскости граней параллелепипеда параллельны, то через точку M можно провести прямую в грани A1B1C1D1, параллельную прямой NP. Эта прямая пересечет сторону В1С1 в точке Y.
Аналогично проводим прямую YZ, параллельно прямой XN. Соединяем Z с P и получаем искомое сечение – MYZPNX.
Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину, представляют собой треугольники. В частности, треугольниками являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два не соседних боковых ребра пирамиды.
Пример 5. Построить сечение пирамиды АВСD плоскостью, проходящей через точки К, L, M. 
Решение:
a.
1. Проведем вспомогательную плоскость BLC и в ней отрезок LM (этот отрезок принадлежит плоскости сечения, рисунок 7, а); 
2. Проведем еще одну вспомогательную плоскость DCK и построим точку пересечения ВL и DК – точку Е. Эта точка принадлежит обеим вспомогательным плоскостям (рис. 7, б);
3. Найдем точку пересечения отрезков LM и ЕС (эти отрезки лежат в плоскости BLC, рис.7, в) – точкуF. Точка F лежит в плоскости сечения и в плоскости DCK;
4. Проведем прямую KF и найдем точку пересечения этой прямой с DC – точкуN (точка N принадлежит сечению). Четырехугольник KLNM – искомое сечение.
Этот же пример решим по другому.
Допустим что по точкам К, L, и М построено сечение KLNM (рис. 7). Обозначим через F точку пересечения диагоналей четырехугольника KLNM. Проведем прямую DF и обозначим через F1 ее точку пересечения с гранью АВС. Точка F1 совпадает с точкой пересечения прямых АМ и СК (F1 одновременно принадлежит плоскостям АМD и DСК). Точку F1 легко построить. Далее строим точку F как точку пересечения DF1 и LM. Далее находим точку N. 
Рассмотренный прием называют методом внутреннего проектирования. (Для нашего случая речь идет о центральном проектировании. Четырехугольник KМСА есть проекция четырехугольника KMNL из точки D. При этом точка пересечения диагоналей KMNL – точка F – переходит в точку пересечения диагоналей четырехугольника KМСА – точку F1.
