Теорема Ферма
Теорема Ферма [1]
Если функция f (x) определена в некотором промежутке, во внутренней точке этого промежутка принимает наибольшее или наименьшее значение и имеет в этой точке производную , то эта производная равна нулю = 0.
Þ .
Дано: , , ,
.
Доказать: = 0.
Доказательство:
т.к. f (c)> f (x), Þ для (рис. 1), , Рис. 1
, если и , если .
Перейдем в неравенствах к пределу.
Знак неравенства при переходе к пределу ослабевает.
, если и , если .
Получаем неравенство: и , следовательно = 0.
Теорема Ролля, Лагранжа и Коши.
Теорема Ролля [2]
Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], дифференцируема внутри него и f (a) = f (b), то внутри промежутка [ a; b ] найдется хотя бы одна точка x = c, в которой производная данной функции равна 0.
Þ
Рис. 2.
Доказательство:
По свойству функций, непрерывных на отрезке, функция на отрезке [ a; b ] принимает наибольшее и наименьшее значения, которые обозначим соответственно и . Имеются две возможности: или , или . Рассмотрим их.
|
|
Пусть . Тогда функция на отрезке [ a; b ] сохраняет постоянное значение и, следовательно, в любой точке интервала (a; b) ее производная равна нулю. В этом случае за с можно взять любую точку интервала (a; b).
Пусть . Так как значения функции на концах отрезка равны, то хотя бы одно из значений или функция принимает внутри отрезка
[ a; b ]. Обозначим f (с) = M, , так как - наибольшее значение функции, то для всех выполняется неравенство Найдем производную в точке , .
Выполняется неравенство , так как
Если (т.е. справа от точки ), то и поэтому . Если (т.е. слева от точки ), то и . Следовательно, получаем .
В случае , доказательство аналогичное.
Геометрический смысл теоремы Ролля:
Если условия теоремы выполняются, то на интервале (a; b) существует такая точка c, что в соответствующей точке кривой касательная параллельна оси . (Рис.2)
Физическая интерпретация теоремы Ролля.
Пусть - время, а - координата точки, движущейся по прямой, в момент времени . В начальный момент точка имеет координату , далее движется определенным образом со скоростью и в момент времени она возвращается в точку с координатой , т.е. . Ясно, что для возвращения в точку она должна остановиться в некоторый момент времени (прежде чем «повернуть назад»), т.е. в некоторый момент скорость .
Пример. Проверим, применима ли теорема Ролля к функции на отрезке . Если окажется, что теорема применима, то найдем точку , в которой производная данной функции равна нулю.
Решение:
Функция непрерывна на отрезке , ее производная определена всюду на интервале , выполняется условие . Значит, все три условия теоремы Ролля выполнены. В качестве точки можно выбрать , так как . Заметим, что можно было положить .
|
|
Ответ:
Пример. Покажем, что уравнение имеет только один действительный корень.
Решение:
Рассмотрим функцию . Она непрерывна и дифференцируема на всей числовой прямой, причем .
Можно заметить, что при любом значении имеем . Но тогда уравнение может иметь не более одного действительного корня. В самом деле, если бы оно имело два корня и (), то, применив к функции на отрезке теорему Ролля, убедились что все условия теоремы Ролля здесь выполнены: непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и , получили бы, что между и существует точка такая, что . Последнее невозможно, значит, уравнение имеет не более одного действительного корня. Существование действительного корня следует из того, что -многочлен нечетной степени (корень в данном случае легко найти подбором).
Пример. Дана функция . Пусть . Тогда . Однако производная не обращается в нуль ни в одной точке интервала . Противоречит ли это теореме Ролля?
Решение:
Нет, не противоречит,т.к. в точке интервала производная не существует, и условия теоремы нарушены.
Теорема Лагранжа [3]
Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ] и дифференцируема внутри него, то существует хотя бы одна точка внутри промежутка [ a; b ] такая, в которой выполняется соотношение:
Рис. 3
Доказательство:
Рассмотрим вспомогательную функцию
. Уравнение секущей (по точке и угловому коэффициенту) имеет вид: , при этом . Функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Действительно, она непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале . Подставляя и
в функцию нетрудно проверить что и , т.е. . По теореме Ролля существует по крайней мере одна такая точка , , что . Так как , то, следовательно, . Откуда получаем: , что и требовалось доказать.
Равенство , где называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений.
Замечание.
или –
формула Лагранжа (конечных приращений).
Геометрический смысл теоремы Лагранжа.
Отношение равно угловому коэффициенту секущей (Рис.3).
Если функция удовлетворяет условиям теоремы, то на интервале существует точка , такая, что в соответствующей точке кривой касательная параллельна секущей, соединяющей точки . Таких точек может быть и несколько, но, по крайней мере, одна всегда существует.
Физическая интерпретация теоремы Лагранжа.
Пусть - время, - координата точки, движущейся по прямой, в
момент времени . Запишем формулу Лагранжа в виде . Величина в правой части является средней скоростью
движения точки по прямой за промежуток времени от до . Формула Лагранжа показывает, что существует такой момент времени , в который мгновенная скорость равна средней скорости на временном отрезке .
Cледствие. Если функция непрерывна на отрезке и во всех
внутренних точках отрезка ее производная равна нулю, то функция
постоянна на этом отрезке.
Доказательство:
Пусть - точка из промежутка . Тогда по теореме
Лагранжа , где . Но по условию ,
следовательно, , откуда . Это и означает, что
рассматриваемая функция постоянна на данном отрезке.
Доказанное утверждение имеет простой физический смысл: если скорость
точки все время равна нулю, то точка покоится и ее координата не
меняется (постоянна).
Замечании.: Если , то из равенства следует . Это значит, что теорема Ролля есть частный случай теоремы Лагранжа.
Пример. Проверим, применима ли теорема Лагранжа к функции
на отрезке . Если окажется, что теорема
применима, то найдем точку , в которой выполняется равенство .
|
|
Решение:
Функция непрерывна на отрезке и
дифференцируема в интервале . Значит, условия теоремы Лагранжа
выполнены. Из формулы получаем:
.
В данном случае , , .
Подставим полученные значения в формулу Лагранжа: . Из этого уравнения находим (второй корень уравнения не подходит, так как это число не принадлежит отрезку ).
Ответ:
Теорема Коши [4]
Þ
Þ .Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению их производных в точке
.
Замечание. Теорема Коши – обобщение теоремы Лагранжа, в случае
получаем теорему Лагранжа.
Доказательство:
Прежде чем перейти к доказательству теоремы Коши,
сначала докажем, что . Действительно, если допустить, что
или , то по теореме Ролля для функции
найдется точка , (), в которой . А это противоречит
условию, т.к. на интервале .
Для доказательства теоремы рассмотрим вспомогательную функцию
. Эта функция
удовлетворяет всем условиям Ролля: непрерывна на отрезке и
дифференцируема на интервале , т.к. является линейной комбинацией
функций и ; на концах отрезка она принимает равные значения
, т.е. . По теореме Ролля для функции
существует точка , (), такая, что . Так как
, то .
Отсюда, учитывая, что , получаем: , что и
требовалось доказать.
Пример. Пусть , , . Составим формулу Коши и
найдем значение .
Решение:
Функции и непрерывны на отрезке ,
дифференцируемы в интервале и в интервале .
Следовательно, условия теоремы Коши выполнены и, значит, существует
точка такая, что . Найдем эту точку. Имеем:
,
. Значит, . Из этого
уравнения находим .
Ответ:
Теорема Лопиталя
До сих пор при вычислении пределов функций применяли разнообразные приемы, зачастую весьма искусственные. Теорема Лопиталя определяет простой и единообразный метод вычисления пределов различных функций. Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида и , который основан на применении производных.
Теорема Лопиталя [5]
Пусть и – бесконечно малые при x ® a функции, , т.е. . Если функции и непрерывны в точке , дифференцируемы в некоторой окрестности точки а (за исключением быть может самой точки а) и при , то , в предположении, что предел отношения производных существует.
|
|
Предел отношения двух бесконечно больших (бесконечно малых)) функций равен пределу отношения их производных (если он существует)
Доказательство: Применяя формулу Коши, получим: , где между и . Или, учитывая, что , т.к. функции и - бесконечно малые, непрерывные в точке функции, получаем . Пусть при
отношение стремится к некоторому пределу. Так как лежит между и , то при получим , а следовательно, и отношение стремится к тому же пределу. Учитывая равенство , получим: если при существует предел отношения ,то , а это и требовалось доказать. Если же окажется, что и бесконечно малые при , то правило Лопиталя применяется повторно. Иногда приходится правило Лопиталя применять несколько раз.
Пример. Вычислить предел, применяя правило Лопиталя:
Решение: = = = = = = = =
Ответ: .
Теорема справедлива и в том случае, когда . Пусть - символ (рассуждения сохраняются и для символов ), положив , получим, что при , и поэтому если существует предел отношения функций при , то существует и предел отношения функций при и они равны. Тоже можно сказать и об отношении их производных. Функции , вблизи точки удовлетворяют условиям доказанной теоремы, поэтому на основании равенства имеем: = = , откуда получаем: .
Теорема Лопиталя
Пусть и – бесконечно,большие при x ® a функции, , т.е. . Если функции и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а (за исключением быть может самой точки а) и при , то , в предположении, что предел отношения производных существует.
Пример 6. Вычислить
Решение: = = = = = = =0
Ответ: .
Замечания. 1) Теорему Лопиталя можно применять многократно.
2) С помощью теоремы Лопиталя раскрываются неопределенности вида: ; ; (0×¥); (¥-¥); (1¥); (00); (¥0).
3) Раскрытие неопределенностей вида и можно свести к рассмотренным выше случаям неопределенностей вида и .
Пусть, например, , при ( -число или один из символов: ), тогда неопределенность вида , или неопределенность вида .
Пример 7. Вычислить
Решение: = = = =0.
Ответ:
4) Неопределенности вида , , встречаются при нахождении предела функции при . Для нахождения предела такой функции при достаточно найти предел при функции . Действительно, если , то . При отыскании предела придется раскрывать неопределенность вида , которая приводится к виду или .
Для раскрытия неопределенности , , используем равенство:
.
(Справедливо для непрерывной и положительной функции )
Пример 8.
Решение:
1) ,
2) = = = = .
Ответ: .
Раскрывая неопределенности по правилу Лопиталя, следует помнить и те способы раскрытия неопределенностей, с которыми знакомились в разделе «Введение в анализ». Например, во многих случаях дифференцирование, которое мы применяем по правилу Лопиталя, приводит к более простым выражениям, если предварительно заменить бесконечно малую эквивалентной ей бесконечно малой или выполнить необходимые упрощения.
Пример 9. Вычислить
Решение: =
Так как - эквивалентна при , то - эквивалентна и, следовательно, . Имеем неопределенность вида . Применив правило Лопиталя, получим:
Снова имеем неопределенность вида и вновь применим правило Лопиталя. Но прежде чем перейти к повторному дифференцированию,
воспользуемся тем, что . Получим: =
Ответ:
Пример 10. Вычислить
Решение: Данный предел представляет собой неопределенность вида .
Однако правило Лопиталя не может быть к нему применено, так как предел
отношения производных, т.е. не существует. Для вычисления предела разделим числитель почленно на знаменатель: . Так как , то
Ответ: