Синусоидальный ток (напряжение) изображается в виде радиус-вектора, вращающегося против часовой стрелки с частотой w. Длина вектора равна амплитудному значению - Im. Один оборот вектор совершает за время одного периода (рис.3.2).Положение радиус-вектора относительно оси Х в момент начала отсчета t=0 определяется углом j. Проекция вектора на ось Y определяется выражением (3.1).На одной векторной диаграмме могут быть изображены векторы нескольких колебаний, например, i1(t) и i2(t) (рис. 3.3). Для упрощения анализа все векторы изображаются в момент времени t=0. Тогда сумма двух векторов определится по правилу параллелограмма.Результирующий радиус-вектор также вращается относительно начала координат с частотой w, а его проекция на ось Y определяется выражением i(t) = Im × sin (w t + j), где j - положение суммарного вектора относительно оси Х в момент времени t=0. Существенный недостаток – низкая точность.Поэтому его применяют чаще всего для качественного анализа электрических цепей с помощью топографических векторных диаграмм напряжений.Для построения топографической векторной диаграммы в анализируемой электрической цепи выделяют несколько участков по направлению обхода. Падение напряжения на каждом участке может быть определено вектором. Устанавливая каждый последующий (по направлению обхода) вектор в точку конца предыдущего вектора получим топографическую векторную диаграмму напряжений. Вектор между любыми двумя точками этой диаграммы характеризует напряжение между соответствующими точками электрической цепи.
|
|
КОМПЛЕКСНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Комплексное представление синусоидальных токов и напряжений позволяет совместить простоту и наглядность векторного представления с точностью представления действительными функциями времени. Для перехода от графического представления к комплексному заменим оси декартовой системы координат (рис.3.2) следующим образом:– ось Х на ось действительных чисел Re;– ось Y на ось мнимых чисел Jm (рис.3.4).При этом длина вектора тока (напряжения) определяется амплитудным значением, как комплексная величина, т.е. . Угол наклона вектора к оси реальных чисел Re в момент времени t=0 остается прежним, т.е. j. Обозначим проекцию вектора на ось реальных чисел i' = Im×cosj, а проекцию на ось мнимых чисел = Im× sin j. Тогда очевидно, что (3.5)где j – мнимая единица, причем – Выражение (3.5) определяет комплексную алгебраическую форму представления синусоидального тока. Она удобна для выполнения действий сложения и вычитания токов (напряжений). Действительно, для сложения двух комплексных чисел достаточно отдельно сложить их действительные и мнимые части.
|
|
Подставим в (3.5) вместо и их значения. Тогда получим: , (3.6)где – модуль комплексного представления тока, численно равный амплитудному значению.Выражение (3.6) определяет комплексную тригонометрическую форму представления синусоидального тока. Вектор тока , величины i ′ и i ″ на рис. 3.4 образуют ПРОДОЛЖЕНИЕ 12 прямоугольный треугольник. Поэтому, применяя известные выражения для сторон треугольника, можем записать: , а .(3.7)Видим, что выражения (3.7) характеризуют параметры синусоидального тока, не зависящие от времени - действительную амплитуду и начальную фазу j. Они позволяют легко перейти от комплексной формы представления к представлению действительными функциями времени.Введем в (3.5) зависимость от времени. Тогда , (3.8) где Теперь очевидно, что реальная часть (3.8) характеризует реально существующее колебание, описываемое действительной косинусной функцией, а мнимая часть – это же колебание в синусной форме.С помощью формулы Эйлера от (3.6) переходят к показательной форме комплексного представления тока: .(3.9)С учетом зависимости от времени выражение (3.9) принимает вид: .(3.10)Показательная комплексная форма удобна для выполнения действий умножения, деления, возведения в степень или извлечения корня. Действительно, для умножения двух комплексных чисел в показательной форме (3.9) достаточно перемножить их модули, а аргументы (показатели степени) сложить.Представим токи и напряжения на пассивных элементах, обладающих резистивным сопротивлением, емкостью и индуктивностью в комплексной форме. Пусть имеем: ; Для элемента с резистивным сопротивлением справедливо равенство: .Освободим это выражение от временной зависимости: (3.11)Но равенство (3.11) возможно только в том случае, когда . Таким образом, мы пришли к важному выводу о том, что на элементе с резистивным сопротивлением ток и напряжение совпадают по фазе. Максимумы тока и напряжения имеют место в один и тот же момент времени. Векторы тока и напряжения будут совпадать. Для элемента, обладающего емкостью, известно выражение: Применяя к нему комплексную форму представления тока и напряжения, получим: .Учитывая, что приходим к выражению: , или: (3.12)Таким образом видим, что напряжение на емкости отстает от тока на 90о. Для элемента, обладающего индуктивностью, воспользуемся выражением (1.11). Тогда
или . (3.13)
Видим, что напряжение на индуктивности опережает ток на 90о.Выражения (3.11), (3.12) и (3.13) не имеют временных зависимостей. Это упрощает расчеты электрических цепей, сводя их к алгебраическим операциям с комплексными числами.