2020-08-05
927
Уравнение эйконала. Запишем волновое уравнение для световой волны в среде с показателем преломления n=c/ v:
. (4.1)
В общем случае для монохроматической волны справедливо:
. (4.2)
Подставляя (4.2) в (4.1) находим уравнение для амплитуды Y(r), зависящей только от координаты:
, (4.3)
где k 0=w/c – волновое число в вакууме. Волновое число в среде k = nk 0.
Воспользуемся соотношением (для других координат будет аналогично):
(4.4)
Тогда (4.3) после деления на Y преобразуется к виду:
. (4.5)
Решение этого уравнения ищем в виде:
. (4.6)
|
|
|
Вещественная скалярная функция S (r) называется эйконалом (от греческого eikon – изображение). Подставляя (4.6) в (4.5), получаем:
. (4.7)
Приравнивая нулю вещественную и мнимую части, получим два уравнения для определения А (r) и S (r):
(4.8)
Для оптического диапазона длина волны много меньше расстояния L, на которых амплитуда волны существенно меняется (порядка размера оптических элементов). Поэтому первыми двумя слагаемыми в первом уравнении (4.8) можно пренебречь (их сумма имеет порядок 1/ L2). Тогда это уравнение в оптическом диапазоне принимает вид уравнения эйконала:
. (4.9)
Градиент от функции S (r) направлен по нормали к поверхности S =const. Поэтому эйконал S описывает поверхности постоянной фазы волны, а Ñ S приводит к понятию луча, т.е. к представлению о движении световой энергии в данной точке в определенном направлении. Лучом называется линия, касательная к которой совпадает в каждой точке с вектором Ñ S. Распространение света рассматривается как движение световой энергии по лучам. Плоскость, перпендикулярная лучам света (где S = const), является волновым фронтом.
Анализ распространения света в лучевом приближении составляет предмет геометрической оптики. Этот подход оправдан всегда, когда
. (4.10)
Физически этот член описывает искривление материальными объектами световых лучей, т.е. дифракцию света. Исходя из этого, можно сказать, что в геометрической оптике не учитываются дифракционные эффекты (см. раздел «Дифракция света»).
|
|
|
|
Рис. 4.1 |
Принцип Ферма. В однородной среде S= k×r (k = const) и лучи являются прямыми параллельными линиями, а фронт волны – плоскостью, перпендикулярной лучам. Для неоднородной среды лучи имеют более сложную конфигурацию. Пусть точки P1 и P2 соединяются лучом L (рис.4.1). Вычислим изменение фазы вдоль луча. Для каждой его точки имеем:
, (4.11)
где d r направлен по лучу и совпадает с Ñ S, d l – элемент длины пути. Для изменения фазы находим:
. (4.12)
Интегрирование идет вдоль луча. Интеграл в (4.12) называется оптической длиной пути. Из (4.12) следует, что оптические длины путей вдоль различных лучей между точками волнового фронта в два момента времени одинаковы. Для любой другой кривой, соединяющей точки P1 и P2, оптическая длина пути оказывается больше, чем для реального луча.
Принцип Ферма (Fermat Pierre, 1601 – 1675) утверждает, что интеграл в (4.12) вдоль луча имеет стационарное значение, т.е. первая вариация d S относительно соседних путей интегрирования равна нулю. Или то же самое в другой формулировке: реальный луч отличается от остальных кривых, соединяющих две заданные точки, тем, что соответствующая ему оптическая длина имеет стационарное значение, т.е. малое изменение траектории не приводит к изменению оптической длины.
К принципу Ферма можно подойти и с другой стороны. Учтем что d t= d l / v – время прохождения пути d l со скоростью v, а n (r) = c / v(r). Тогда
, (4.13)
где интеграл здесь дает время, затрачиваемое на прохождение пути от P1 и P2. С этой точки зрения принцип Ферма звучит так: лучом, соединяющим две точки, является тот путь, который делает стационарным время, затрачиваемое светом на его прохождение. Формулировка о стационарности времени прохождения пути между двумя точками, с одной стороны, утверждает экстремальный характер этого времени, а с другой стороны, не исключает наличия нескольких путей с одинаковым временем прохождения.
Например, в геометрической оптике все лучи от точки предмета идут по различным путям и встречаются в точке изображения. Но все они затрачивают одно и то же время на прохождение своего пути. Другими словами, оптические длины всех путей, соединяющих точку предмета с точкой изображения, одинаковы (принцип таутохронизма).
|
Рис. 4.2 |
Вывод закона преломления из принципа Ферма. Пусть требуется соединить лучом две точки P1 и P2, находящиеся в однородных средах с коэффициентами преломления n1 и n2, разделенных плоской границей (рис. 4.2). В каждой однородной среде луч – прямая линия. Из геометрии рисунка получаем для полного времени распространения света между точками P1 и P2:
(4.14)
Условие стационарности 
принимает вид:
. (4.15)
Учитывая, что 
получаем соотношение, полностью совпадающее с законом Снеллиуса:
. (4.16)
Распространение луча в среде с переменным коэффициентом преломления. Пусть свет распространяется в среде с аксиально-симметричным изменением коэффициента преломления. Луч распространяется вдоль положительного направления этой оси Z в параксиальном приближении. Расстояние от оси – r. Из закона Снеллиуса для бесконечно тонкого слоя D r имеем:
. (4.17)
Разложим n (r + D r) в ряд Тейлора и ограничимся линейным по D r членом:
. (4.18)
|
|
|
В параксиальном приближении sinDa» Da; cosDa» 1. Тогда с учетом линейного приближения получаем:
. (4.19)
Т.к. tga1 = D r / D z, то в параксиальном приближении:
. (4.20)
С учетом (4.20) из (4.19) находим уравнение распространения луча:
. (4.21)
Например для диэлектрического волоконного световода n (r) =n0 (1– ar2/ 2)и ar2/ 2«1(a> 0). Тогда уравнение (4.21) принимает вид: d2 r/ d z 2 = – ar. Общее решение этого уравнения гармонических колебаний в пространстве хорошо известно. Это значит, что луч внутри такого световода имеет синусоидальную траекторию.
Прохождение лучей в центрированных оптических системах. Рассмотрим прохождение лучей через сферическую линзу, не накладывая ограничений на ее толщину (рис.4.3). Обозначения видны из рисунка.
Ось Z совпадает с осью линзы. Главной оптической осью линзы называется прямая, проходящая через центры кривизны ее поверхности (в данном построении это ось Z). Свет распространяется вдоль положительного направления оси Z. Луч света лежит в плоскости XZ. r 1 и r 2 – радиусы кривизны 1-й и 2-й сферических поверхностей линзы (r 2 на рис.4.3 не показан, чтобы не загромождать рисунок). Весь расчет проводится в параксиальном приближении:
(4.22)
|
Рис. 4.3 |
Преломление на первой сферической поверхности. В точке P1 закон Снеллиуса в параксиальном приближении имеет вид:
. (4.23)
Используя геометрические соотношения между углами:
, (4.24)
а в параксиальном приближении
, (4.25)
|
|
|
из (4.23) получаем:
. (4.26)
Кроме этого учтем соотношение
. (4.27)
Система уравнений (4.26) и (4.27) позволяют, задав координаты падающего на первую поверхность линзы луча (n 1a1 ; x 1), найти координаты (n 1/a1/; x 1/) преломленного в линзе луча. Полученную систему удобно записать в матричном виде:
, (4.28)
где величина k1= (n1/–n1)/ r 1 называется преломляющей силой первой поверхности, а матрица
(4.29)
называется преломляющей матрицей первой поверхности.
Распространение луча внутри линзы. Преломленный луч в параксиальном приближении, пройдя внутри линзы, падает на её вторую поверхность на расстоянии x 2 от оси:
. (4.30)
Отметим, что величина D в параксиальном приближении практически равна толщине линзы А1А2. С учетом, что 
получаем в матричном виде:
. (4.31)
Матрица 
(4.32)
описывает распространение луча от первой поверхности линзы ко второй и называется передаточной матрицей.
Преломление луча на второй сферической поверхности рассматривается точно так же, как и на первой поверхности. Величина k2= (n2/ –n2)/ r 2 называется преломляющей силой второй поверхности, а матрица R2 – преломляющей матрицей второй поверхности:
. (4.33)
Знаки всех величин в приведенных выражениях необходимо брать с учётом правила знаков: если встречаемая лучом преломляющая поверхность выпуклая, то её радиус кривизны надо брать с положительным знаком, а если вогнутая – с отрицательным; углы a, отсчитываемые от оси Z против часовой стрелки, положительны, а по часовой стрелке – отрицательны; расстояния, отсчитываемые по Z (по рис. 4.3 – слева направо), положительны, а против Z (справа налево) – отрицательны; расстояния от оси Z, отсчитываемые вверх, положительны, вниз – отрицательны.
Распространение луча через оптическую систему. Используя (4.29), (4.31), (4.33), получаем связь между характеристиками на выходе линзы и входе в неё:
, (4.34)
, (4.35)
(4.36)
где a, b, c, d называются постоянными Гаусса. Независимыми являются только три из четырех постоянных Гаусса. Матрица S 21 полностью описывает рассмотренную оптическую систему.
Преобразование луча от плоскости предмета к плоскости изображения. Пусть из точки некоторой плоскости (плоскости предмета), расположенной на расстоянии l слева от точки А 1 выходит луч с координатами (n1 a 1, x) и падает на рассматриваемую линзу. В некоторой плоскости, расположенной справа от точки А 2 на расстоянии l / луч характеризуется координатами (n2/ a 2/, x /). Между этими парами координат по приведенным выше правилам получаем соотношение:
. (4.37)
Перемножая матрицы в (4.37), имеем:
. (4.38)
Матрица Q21 называется матрицей преобразования предмета к изображению:
. (4.39)
Обозначим 
– увеличение оптической системы. (4.40)
Введем понятие изображения. Под изображением понимается такое отображение плоскости предмета на плоскость, называемую плоскостью изображения, когда все лучи, выходящие из точки предмета, сходятся после преломления в оптической системе в одной точке плоскости изображения, и все точки отображаются с одинаковым увеличением.
Исходя из этого определения в точке изображения увеличение М не должно зависеть от угла a1. Поэтому соответствующий член в матрице Q 21 обращается в нуль:
. (4.41)
Из определения увеличения и выражения (4.40) имеем:
. (4.42)
Тогда матрица преобразования от предмета к изображению принимает вид:
(4.43)
Кардинальные элементы оптической системы. Плоскости H и H /, увеличение для точек которых М = 1, называются главными плоскостями, а их пересечения с осью системы (ось Z) – главными точками системы. Найдём из (4.42) их положение:
, (4.44)
где l H – отсчёт положения плоскости H относительно точки А 1; l H/ – отсчёт положения плоскости H/ относительно точки А 2 .
Точка на оси системы, в которой сходятся лучи, падающие на оптическую систему параллельно оптической оси (т.е. точка с увеличением M = 0) и точка, выйдя из которой лучи после прохождения оптической системы становятся параллельными оптической оси (т.е. с увеличением M = ¥), называются фокусами оптической системы. Плоскости, проходящие через фокусы перпендикулярно оптической оси, называются фокальными. Найдём из (4.42) их положение:
(4.45)
где lF – отсчёт положения переднего фокуса относительно точки А 1, l F/ – отсчёт положения заднего фокуса относительно точки А 2.
Расстояние f между передней главной точкой и передним фокусом называется передним фокусным расстоянием; расстояние f /между задней главной точкой и задним фокусом называется задним фокусным расстоянием:
. (4.46)
Главные и фокальные плоскости называются кардинальными элементами оптической системы. Их положение позволяет полностью описать преломление лучей в оптической системе и построить изображение заданного предмета (рис.4.4).
|
Рис. 4.4 |
Физический смысл постоянных Гаусса. Пусть линза располагается в воздухе: n 1 = n 2/ = 1. Тогда из (4.46) следует:
, (4.47)
т.е. a является величиной, обратной фокусному расстоянию. Из (4.45) и (4.47) имеем:
. (4.48)
Коэффициенты b и c характеризуют взаимное расположение главных и фокальных плоскостей.
Уравнение линзы. Из подобия треугольников CDF, ABC, FPA (рис.4.4) следует:
, (4.49)
а из подобия треугольников A/D/F/, F/H/C/, A/B/C/ следует:
. (4.50)
Из этих соотношений имеем:
, (4.51)
а отсюда получаем уравнение линзы в форме Ньютона:
. (4.52)
Из этих же уравнений можно получить уравнение линзы в форме Гаусса:
. (4.53)
Увеличение линзы определяется из формулы:
. (4.54)
Тонкие линзы. Пусть 
– относительный коэффициент преломления и 
. Тогда из (4.36) и (4.47) следует выражение для фокусного расстояния линзы через относительный коэффициент преломления и её геометрические параметры:
. (4.55)
Тонкой линзой называется линза, для которых можно пренебречь третьим слагаемым в скобках (4.55), что соответствует малости толщины линзы по сравнению с каждым радиусом кривизны:
. (4.56)
Тонкая линза представляется не имеющей толщины и с ней совпадают обе главные плоскости. Фокусное расстояние становится равным отсчёту от линзы до фокуса. При этом условии матрица с коэффициентами Гаусса для тонкой линзы принимает вид:
. (4.57)
Величина 
(4.58)
называется оптической силой линзы. Оптическая сила измеряется в диоптриях (1 дптр соответствует фокусному расстоянию в 1 м). Оптическая сила положительна для собирающих линз и отрицательна для рассеивающих.
Рассмотрим в качестве примера простейшую систему из двух тонких линз (рис. 4.5). Тогда матрица S (4.34), описывающая данную систему будет получаться из результата перемножения матриц:
. (4.59)
|
Рис. 4.5 |
Далее находятся постоянные Гаусса, а из них кардинальные элементы данной оптической системы. Отсчет для передних главной точки и фокуса идет от передней линзы, а для задних кардинальных точек – от последней линзы по приведенному выше правилу знаков.
Отражение от сферических поверхностей рассматривается как преломление в среду с отрицательным показателем преломления – n, если n – показатель преломления среды, из которой луч падает на отражающую поверхность. В остальном матрица, описывающая отражение, полностью аналогична матрице, описывающей преломление. Правило знаков остается тем же.
Аберрации оптических систем. В определении понятия изображения содержится требование того, чтобы все лучи, выходящие из точки предмета, сходились в одной и той же точке в плоскости изображения, при этом увеличение для всех точек предмета остается постоянным. Отклонения фактически получаемого изображения от идеального, описываемого всеми предыдущими формулами, называются аберрациями. Для параксиальных лучей аберрации малы и ими пренебрегают. Если же лучи не параксиальные, то аберрации становятся значительными и сильно искажают изображение.
Первый источник аберраций состоит в том, что линзы, ограниченные сферическими поверхностями, преломляют лучи не совсем так, как это принимается в параксиальном приближении (например, фокусы для лучей, падающих на разных расстояниях от оси линзы, различны.). Такие аберрации называются геометрическими (монохроматическими).
Например, параксиальное приближение основывается на линейном разложении синуса в ряд. Неучтенные в таком приближении члены ~a3, ~a5 и т.д. приводят к аберрациям третьего, пятого и т.д. порядков.
К геометрическим аберрациям относятся:
1. Сферическая аберрация.
2. Кома.
3. Астигматизм.
4. Искривление поверхности изображения (кривизна поля).
5. Дисторсия.
|
Рис. 4.6 |
При сферической аберрации лучи, параллельные оптической оси, не пересекаются после линзы в одной точке. Пучок параллельных оси лучей после преломления образует совокупность конусов, вершины которых расположены на оси. Огибающая эту совокупность конусов поверхность называется каустической, а сечение этой поверхности любой плоскостью, проходящей через луч – каустической кривой (рис.4.6).
Если светящаяся точка расположена не на оптической оси, то её изображение не является светящимся кружком, как в предыдущем случае, а представляется в виде довольно сложной асимметричной фигуры, напоминающей комету с хвостом. Такая аберрация называется комой.
Если на линзу падает цилиндрический пучок лучей под достаточно большим углом к оптической оси, то в результате сечение пучка лучей изменяется с расстоянием от линзы после преломления (рис.4.7). На некотором расстоянии от линзы сечение является отрезком линии, перпендикулярным плоскости падения пучка (такая плоскость падения, образованная осью падения пучка и оптической осью, называется меридианальной плоскостью, а перпендикулярная ей – сагиттальной). Затем эта линия переходит в эллипс, на некотором расстоянии дальше сечение опять становится круговым, а затем эллиптическим и дальше превращается в отрезок линии, лежащей в меридианальной плоскости. Такой вид аберрации называется астигматизмом.
|
Рис. 4.7 |
Поверхности, на которых лежат фокусы (где образуются отрезки линий при астигматизме), создаваемые меридианальной и сагиттальной фокусировками, не совпадают между собой и не являются плоскостями. Эти поверхности касаются лишь в точке F/ оптической оси. Этот вид аберрации называется искривлениемповерхностиизображения.
Увеличение системы, вообще говоря, зависит от угла наклона падающих лучей. В результате, например, сетка из прямых линий превращается в сетку из кривых линий. Такая аберрация называется дисторсией (рис.4.8).
|
Рис. 4.8 |
Второй источник аберраций связан с дисперсией света. Т.к. показатель преломления зависит от частоты, то и фокусное расстояние и другие характеристики системы зависят от частоты. Поэтому лучи, соответствующие излучению различной частоты, исходящие из одной точки предмета, не сходятся в одной точке изображения даже в идеальном случае. Такие аберрации называются хроматическими.
Некоторые приборы геометрической оптики.
1. Глаз. (рис.4.9)
|
Рис. 4.9 |
Фокусировка глаза на предмет называется аккомодацией.
Средние характеристики человеческого глаза:
Оптическая сила ~ 58 дптр.
Длина глаза ~ 22 мм.
Радиус кривизны
сетчатки ~ 9,7 мм;
преломляющей
поверхности ~ 5,6 мм.
Показатель преломления
среды 1,33;
хрусталика ~ 1,4 – 1,45.
Расстояние наилучшего зрения 25 см.
2. Линзовый телескоп (рис.4.10). Увеличение 
(4.60)
|
Рис. 4.10 |
3. Лупа. Простейшая оптическая система с малым фокусным расстоянием (~1 см или немного больше). Предмет располагается на расстоянии от лупы меньше фокусного. Изображение мнимое, прямое, увеличенное. Увеличение
, (4.61)
где D – расстояние наилучшего зрения (25 см).
4. Микроскоп. Передняя собирающая линза называется объективом (f 1 около сантиметра), задняя – окуляром (f 2 около нескольких сантиметров). Объектив строит увеличенное перевернутое действительное изображение, окуляр играет роль лупы для этого изображения как предмета. Увеличение
, (4.62)
где d – расстояние между фокусами объектива и окуляра.
