Многочлены и операции над ними

       Одночлен или моном – простое математическое выражение, прежде всего рассматриваемое и используемое в элементарной алгебре, а именно, произведение, состоящие из числового множителя и одной или нескольких переменных, взятых каждая в неотрицательной степени. Одночленом также является каждое отдельное число, причем степень такого одночлена равна нулю.

       Многочлен или полином от n переменных от  до  – сумма одночленов или строго конечная сумма следующего вида, в котором  – набор из n целых чисел, именуемый мультииндексом;  – число, именуемое коэффициентом многочлена, зависящее только от мутииндекса I.

С помощью многочлена вводятся понятия «алгебраическое уравнение» и «алгебраическая функция».

       Полной степенью одночлена называется целое число следующего вида

Множество мультииндексов I, для которых коэффициенты  ненулевые, называется носителем многочлена, а его выпуклая оболочка – многогранником Ньютона. Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов.

       Коэффициенты многочлена обычно берутся из определенного коммутативного кольца R. Иными словами, для операций сложения и умножения многочлены образуют кольцо, которое обозначается . Сложение и вычитание многочленов происходит по следующему принципу:

1. Составляется сумма или разность исходных многочленов, для чего многочлены заключаются в скобки и между этими скобками ставятся знаки сложения или вычитания;

2. Скобки раскрываются;

3. Приведение к стандартному виду (приведение подобных).

Умножение многочлена на многочлен базируется на распределительном свойстве умножения и сводит умножение многочленов к умножению друг на друга всех составляющих их членов – умножению одночленов. Чтобы умножить на каждый член второго многочлена и сложить полученные произведения.

       На основании умножения многочленов вводится действие возведения многочлена в степень, которое заключается в умножении многочлена на само себя столько раз, сколько указывает показатель степени.

       Деление многочлена на многочлен существенно отличается от всех вышеуказанных действий и в общем случае результатом выполнения действия не является многочленом. В частных случаях результатом деления двух многочленов является многочлен. Многочлен  делится без остатка на многочлен , если существует многочлен  такой, что справедливо следующее соотношение .

Теорема: Любой многочлен  степени  можно представить в виде

, где  – некоторый многочлен степени ;  – многочлен степени  и  – многочлен, степень которого меньше k, причем такое представление единственно.

Деление многочлена на многочлен удобно выполнять уголком по аналогии с обычными действительными числами.

       Пусть A – алгебра над кольцом R, тогда произвольный многочлен

 определяет полиномиальную функцию . В случае, если R – поле вещественных или комплексных чисел, тогда функция  полностью определит многочлен p. В общем случае это неверно. Полиномиальная функция одного действительного переменного называется целой рациональной функцией.