Линейные операции над матрицами

Раздел 1.          

Матрицы ………………………………………………………………………5

Виды матриц………………………………………………………………….6-8

Линейные операции над матрицами………………………………………..8-11

Умножение матриц…………………………………………………………11-13

 

Свойства умножения матриц………………………………………………...13

Раздел 2.

 Определитель матрицы …………………………………………………….13

 

Вычисление определителей второго и третьего порядков……………..13-15

 

Основные свойства определителей……………………………………….15-16

 

Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя……..16-18

 

Перечислим различные способы вычисления определителей…………18-19

 

Литература………………………………………….…...…………………….20

Интернет-ресурсы: доступ…………………………………………………..20

Приложение. Упражнения для контроля полученных знаний………….21-23

 

 

Введение

 Математика подобна башне, фундамент которой был заложен много веков назад и в которой всё ещё достраивается верхний этаж. Чтобы оценить общий ход строительства, надо подняться на самый верхний этаж по очень крутой лестнице с множеством ступеней. Роль   состоит в том, чтобы втащить слушателя в лифт и довезти к вершине, откуда он не увидит ни промежуточных этажей, ни веками украшавшихся комнат, но сможет убедиться, что здание очень высокое и продолжает расти.

Таким образом, при решении различных задач математики очень часто приходится иметь дело с таблицами чисел, называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с  векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи. Одним из способов решения систем линейных уравнений являются определители, которые составляются из матриц.

 

 

 

Матрицы и определители

Раздел 1. Матрицы

Матрицей называется множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов. Для записи матрицы используется следующее обозначение:

Для любого элемента а_{i j} первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j – номер столбца.

Пусть дана таблица (называемая матрицей), состоящая из четырех чисел: .

Матрица имеет две строки a₁₁ a₁₂ и a₂₁a₂₂  и два столбца  a₁₁    и a₁₂.

                                                                                                                                                              a₂₁       a₂₂

Числа, составляющие эту матрицу, обозначены буквой с двумя индексами. Первый индекс указывает номер строки, а второй- номер столбца, в которых стоит данное число. Например, a₁₂  означает число, стоящее в первой строке и втором столбце; a₂₁- число, стоящее во второй строке и первом столбце. Числа a_11, a_12, a_21, a₂₂  будем называть элементами матрицы.

Матрицу для кратности будем обозначать одной буквой, например:

,  В = .

Две матрицы А и В  называются равными (А=В), если они имеют одинаковое число строк и одинаковое число столбцов и их соответствующие элементы равны.

Так, если    и , то А=В, если a₁₁= , = , = = .

 

 

 

Виды матриц:     

а) Прямоугольный (Если число строк матрицы не равно числу столбцов (m≠n) например, матрицы  А =  ,B=  ).

Сокращенно прямоугольную матрицу типа m X n можно записал так: А = (а_ij), где i=1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n.

 б) Квадратный (Если число строк равно числу столбцов (m=n)). Например, А= , B= .

Число строк или столбцов квадратной матрицы называется ее порядком. Так, в последнем примере порядок матрицы  А равен 2, а порядок матрицы В равен 4.

Диагональ, содержащую элементы а₁₁, а₂₂, …, а_nn, будем называть главной, а диагональ, содержащую элементы а_1n, а_2,n-1, …, а_n1, - побочной (или вспомогательной).

в) Диагональный  (Матрица у которых отличны от нуля только элементы, находящиеся на главной диагонали: А= . Например, матрицы  А= ,  В= ;

г) Скалярный (Если у диагонали матрицы все числа главной диагонали равны между собой, т.е. а₁₁=а₂₂=…=а_nn;

д) Единичный (Если в скалярной матрице все числа главной диагонали равны единице и обозначается буквой  Е:

Е= ;

е) Нулевой (матрица,  все элементы которой равны нулю и обозначаются так:

О= ).

Нуль-матрица при сложении матриц выполняет роль обычного нуля при сложении чисел: А+0=А.

Например: + = .

В прямоугольной матрице типа m X n возможен случай, когда m=1. При этом получается матрица- строка:

А = (а₁₁ а₁₂ … а_1n).

В случае, когда n = 1, получаем матрицу- столбец:

В = .

Такие матрицы-строки и матрицы-столбцы иначе будем называть векторами.

ж) Равные (Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковое число строк m и одинаковое число столбцов n и их соответствующие элементы равны: а_ij = b_ij).

Так, матрицы

А=  и     В =

равны, если а₁₁ = b₁₁, а₁₂ = b₁₂, а₁₃ = b₁₃, а₂₁ = b₂₁, а₂₂ = b₂₂, а₂₃ = b₂₃.

Равные матрицы обязательно имеют одно и то же строение: либо обе они прямоугольные типа m X n, либо квадратные одного и того же порядка n.

Если в матрице типа m  n, имеющий вид

А= ,

переставить строки со столбцами, получил матрицу типа n  m, которую будем называть транспонированной матрицей:

 

А= .

В том случае, когда матрица состоит из одной строки (матрица-строка), т. е.

В = (b₁ b₂ … b_n),

транспонирования матрица является матрицей-столбцом:

 В^т= .

Линейные операции над матрицами

Суммой матриц А  и В   условимся называть такую матрицу, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц  А  и В. Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковые строение: или прямоугольные типа m  n, или квадратные порядка n.

         Пусть  А = , В =  

 

Тогда сумма матриц     С= А+В имеет вид

С=

где с₁₁₌a₁₁+b₁₁,c₁₂=a₁₂+b₁₂;……c_ij=a_ij+b_ij,…..,c_mn=a_mn+b_mn.

Если даны две квадратные матрицы одного порядка, например

   и , то их суммой называется матрица

.

Аналогично определяется сумма двух прямоугольных матриц, имеющих одинаковое число строк и одинаковое число столбцов.

 Пример 1. + = = .

Пример 2.     + = .                                                     

Например, сложить матрицы A и B, если:

а) ,         B= . 

  Решение. а) Здесь  А и В – квадратные матрицы второго порядка. Складывая их соответствующие элементы, получим

С = А + В= = .

б) , B= .

Решение.  б) Здесь А и В – прямоугольные матрицы типа 2 3. Складываем их: соответствующие элементы

С = А + В= = .

в)  , В .

Решение. в) Здесь А и В – квадратные матрицы третьего порядка. Складываем их соответствующие элементы:

С = А + В = = .

Г) , .

Решение. г) эти прямоугольные матрицы сложить нельзя, так как   А есть матрица типа 3Х 2, а В- матрица типа 2Х3; можно складывать прямоугольные матрицы одного типа.

Мы видим, что сложение матриц сводится непосредственно к сложению их элементов, являющихся числами. Поэтому на сложение матриц распространяются важнейшие свойства чисел:

1) переместительный закон сложения: А + В = В + А, где А и В – либо квадратные матрицы одного порядка n, либо прямоугольные матрицы одного типа m X n;

2) сочетательный закон сложения (А + В) + С = А + (В + С), где   А, В, С – либо квадратные матрицы одного порядка n, либо прямоугольные матрацы одного типа m х n.

Например, доказать справедливость равенств:

а) А + В = В + А для матриц

   А = , В = ;

 б) (А + В) + С = А + (В + С) для матриц

  А = , В = , С = .

Из сказанного выше вытекает равенство

                                     А + 0 =  А,

т.е. существует такая нулевая матрица (того же порядка или типа), что ее сумма с матрицей   А любого типа равна матрице А.

Для любой матрицы А   существует матрица - А, такая, что А + (- А) = 0, т.е. матрица, противоположная А.

Произведением матрица А  на число   K   называется такая матрица   KА, каждый элемент которой равен , т.е.

если    А  = ,  то   K А = .

Умножение матрицы на число сводится к умножению на это число всех элементов матрицы.

Например, а) Умножить матрицу   А  =  на число K = 3.

  Решение. Умножая каждый элемент матрицы   А на 3, получим

                              3А = .

б) Найти матрицу, противоположную матрице   А  =

Решение. Для нахождения противоположной матрицы умножаем матрицу

А на   K =-1:

                   - А = .

в)  Найти линейную комбинацию 3А – 2В, если

                     А = , В = .

Решение: Сначала находим произведение   А на K ₁ =3 и В на K ₂ =-2:

                                 3А = , -2В = .

Теперь найдем сумму полученных матриц:

 3А – 2В, если А =  = .

           

Умножение матриц

Рассмотрим умножение квадратных матриц второго порядка.

Пусть

A= , B= .

Произведение этих матриц называется матрица

C=AB= .

Чтобы найти элемент первой строки и первого столбца матрицы  С, нужно каждый элемент первой строки матрицы А (т.е. ) умножить на соответствующий элемент первого столбца матрицы B (т.е. ) и полученные произведения сложить: ;

чтобы найти элемент с₁₂  первой строки и второго столбца матрицы C, нужно умножить все элементы первой строки (a₁₁ и a₁₂) на соответсвующие элементы второго столбца (b₁₂   и b₂₂)­­ и полученные произведения сложить: c₁₂=a₁₁b₁₂+a₁₂b₂₂;

аналогично находятся элементы c₂₁ и  c₂₂.

Вообще, чтобы получить элемент, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы-произведения, нужно все элементы i-й строки (a_i1, a_i2,……, a_in) матрицы A умножить на соответсвующие элементы j-го столбца (b_1j, b_2j,…., b_nj) матрицы B и полученные произведения сложить.

Например, а) найти произведение матриц A и B, если

A= , B= ,

  Решение. Найдём каждый элемент матрицы-произведения:

c₁₁=a₁₁b₁₁+a₁₂b₂₁+a₁₃b₃₁=3*1+1*2+1*1=6;

c₁₂=a₁₁b₁₂+a₁₂b₂₂+a₁₃b₃₂=3*1+1*(-1) +1*0=2;

c₁₃=a₁₁b₁₃+a₁₂b₂₃+a₁₃b₃₃=3*(-1) +1*1+1*1=-1;

c₂₁=a₂₁b₁₁+a₂₂b₂₁+a₂₃b₃₁=2*1+1*2+2*1=6;

c₂₂=a₂₁b₁₂+a₂₂b₂₂+a₂₃b₃₂=2*1+1*(-1) +2*0=1;

c₂₃=a₂₁b₁₃+a₃₂b₂₃+a₂₃b₃₃=2*(-1) +1*1+2*1=1;

c₃₁=a₃₁b₁₁+a₃₂b₂₁+a₃₃b₃₁=1*1+2*2+3*1=8;

c₃₂=a₃₁b₁₂+a₃₂b₂₂+a₃₃b₃₃=1*1+2*(-1) +3*0=-1;

c₃₃=a₃₁b₁₃+a₃₂b₂₃+a₃₃b₃₃=1*(-1) +2*1+3*1=4;

Следовательно,  

С= .

Правило нахождения матрицы-произведения распространяется на умножение прямоугольных матриц.

б) найти произведение AB, если

A= , B= .

Решение.

 АВ =  = .

Если в этом примере мы попытаемся найти произведение BA, то убедимся, что это невозможно.

Для прямоугольных матриц справедливы следующие правила:

1) умножение матрицы   А на матрицу B имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B;

2) в результате умножения двух прямоугольных матрицы получается матрица, содержащая столько строк, сколько строк в первой матрице, и столько столбцов, сколько столбцов во второй матрице.