Дифракция Френеля на круглом отверстии и круглом диске

Явление дифракции принято классифицировать в зависимости от расстояний источника света и плоскости наблюдения от препятствия, поставленного на пути распространения светового пучка.

Различают 2 случая:

1. Дифракция Френеля или дифракция в сходящихся лучах. На препятствие падает плоская или сферическая волна, а дифракционная картина наблюдается на экране, находящемся на конечном расстоянии от препятствия.

2. Дифракция Фраунгофера или дифракция в параллельных лучах. На препятствие падает плоская волна, а дифракционная картина наблюдается на экране, который находится в фокальной плоскости собирающей линзы, установленной на пути прошедшего через препятствие света.

    Рассмотрим дифракцию Френеля на круглом отверстии (рис. 6.2.5). Точечный монохроматический источник света S испускает сферическую световую волну, падающую на преграду с круглым отверстием радиусом r ₀. На экране, параллельном плоскости отверстия (его центр – точка Р), наблюдаем дифракционную картину.

Рис 6.2.5. Дифракция Френеля на круглом отверстии

    Дифракционная картина будет иметь вид чередующихся темных и светлых колец с центрами в точке Р. Экспериментальное наблюдение такой системы колец свидетельствует, что дифракция света – не простое огибание препятствия световой волной. Объяснение дифракционной картины дает метод зон Френеля: система колец – это система интерференционных максимумов и минимумов, образовавшихся при наложении когерентных волн от тех зон Френеля, которые открыты отверстием. Амплитуда результирующего колебания в точке Р будет равна:

, если m нечетное;

, если m четное.

    Здесь m – номер последней открытой отверстием зоны Френеля (он зависит от расстояний a и b). Если отверстие открывает только одну первую зону Френеля (то есть m = 1), то A = A ₁ (вдвое больше, чем если бы преграды вообще не было). Тогда интенсивность света в точке Р имеет максимальное значение, в четыре раза превосходящее интенсивность в отсутствие преграды. Если отверстие открывает 1-ю и 2-ю зоны (m = 2), в точке Р вообще темно:

, A» 0,

поскольку амплитуды колебаний от соседних зон отличаются незначительно. Интенсивность света напротив середины отверстия практически обращается в нуль. Этот же результат справедлив и при любом (небольшом) четном числе открытых зон Френеля. Если же число открытых зон нечетно, действие одной из зон оказывается нескомпенсированным, и в точке Р наблюдается светлое пятно.

Расчет интенсивности света в точках экрана, находящихся на некотором расстоянии от точки Р, оказывается значительно сложнее. Для каждой такой точки можно построить свою систему зон Френеля, однако в этом случае отверстие открывает участки этих зон с разной площадью. В силу этого сложно просуммировать вклады от вторичных источников в амплитуду колебаний в точке наблюдения. Анализ показывает, что при удалении от Р периодически будут встречаться места с больше и меньшей интенсивностью. Поскольку картина распределения интенсивности симметрична, вокруг точки Р будет наблюдаться система более светлых и менее светлых колец. Число этих колец и их положение зависят от числа открытых отверстием зон Френеля для точки Р. Пока в отверстие укладывается лишь одна центральная зона или ее часть, интенсивность в точке Р максимальна и монотонно убывает при отдалении от нее. Когда открыты две зоны Френеля, в центре дифракционной картины – темное пятно, а вокруг него – светлое кольцо с максимальной интенсивностью. С увеличением числа открытых зон увеличивается и число максимумов и минимумов интенсивности в радиальном направлении. Когда в отверстие укладывается большое число зон Френеля, интенсивность вблизи точки Р оказывается практически одинаковой, и лишь у границы геометрической тени наблюдается чередование весьма узких светлых и темных колец.

    Пусть теперь на пути волны от точечного источника S расположен круглый непрозрачный диск (рис. 6.2.6).

Рис. 6.2.6. Дифракция Френеля на круглом диске

    Диск перекрывает m первых зон Френеля. Открытые зоны Френеля создадут на экране дифракционную картину в виде колец. В центре дифракционной картины (в точке Р) амплитуда световых колебаний будет равна:

    Следовательно, интенсивность света в центре геометрической тени не равна нулю. Если радиус диска мал, и диск перекрывает небольшое число зон Френеля, A_{m +1}» A ₁, поэтому интенсивность света в точке Р будет почти такая же, как и в отсутствие диска. Этот результат теории Френеля, предсказанный Пуассоном и показавшийся абсурдным сторонникам корпускулярной теории света, был экспериментально подтвержден французским физиком Д.Ф. Араго. После этого волновая теория света получила всеобщее признание, а световое пятнышко в центре геометрической тени за диском стали называть пятном Пуассона.

Анализ показывает, что если диск очень мал и перекрывает лишь небольшую часть центральной зоны Френеля, то он совсем не отбрасывает тени. Распределение интенсивности света на экране практически такое же, как и в отсутствие преграды. Если диск перекрывает много зон Френеля, то A_{m +1} << A ₁, и поэтому интенсивность пятна Пуассона ничтожно мала. Вблизи границы геометрической тени от диска наблюдается система светлых и темных колец.

В рассмотренных задачах распределение интенсивности в дифракционной картине определялось числом зон Френеля, перекрытых экраном или открытых отверстием в экране, а не абсолютными размерами экранов или отверстий. Радиусы зон Френеля определяются формулой (6.2.7). Для первой зоны где  Отношение радиуса r ₁ первой зоны Френеля к линейному размеру D  экрана или отверстия

полностью определяет условия наблюдения, при которых дифракционные явления становятся существенными, и распределение интенсивности заметно отличается от предсказаний геометрической оптики.

    Когда р << 1, число зон Френеля, перекрываемых экраном или открываемых отверстием, велико. Тогда дифракционные эффекты незначительны, и распределение интенсивности приближенно описывается в рамках геометрической оптики.

    При р» 1 (открыта заметная часть одной зоны или небольшое число зон) наблюдается сложное распределение интенсивности. Это случай дифракции Френеля.

    При р >> 1 отверстие открывает малую часть первой зоны Френеля. Это случай дифракции Фраунгофера.

В заключение отметим, что в случае протяженного источника света от каждого его элемента создается своя дифракционная картина. Вследствие некогерентности света, испускаемого этими элементами, происходит просто сложение интенсивностей в каждой точке, и результат дифракции определяется наложением таких нескольких смещенных друг относительно друга дифракционных картин.