Теоремы сложения и умножения вероятностей

Практическая часть

Пример 3. При увеличении напряжения может произойти разрыв электрической цепи вследствие выхода из строя одного из трех последовательно соединенных элементов; вероятности отказа элементов соответственно равны 0,2; 0,3; 0,4. Определить вероятность того, что разрыва цепи не произойдет.

 

Решение. Пусть события А₁, А₂, А₃ означают выход из строя соответственно первого, второго и третьего элементов. Их вероятности по условию соответственно равны: P(A₁)=0,2; P(A₂)=0,3; P(A₃)=0,4. Тогда вероятности противоположных событий  (соответственно первый, второй и третий элемент не вышел из строя) равны:

Событие А, состоящее в том, что разрыва цепи не произошло, есть произведение независимых событий . Следовательно, получаем:

 

Пример 4.   В урне 6 черных, 5 красных и 4 белых шара. Последовательно, один за другим, вынимают три шара. Найти вероятность того, что первый шар окажется черным, второй – красным и третий – белым.

 

Решение. Рассмотрим следующие события:

А – первый вынутый шар черный,

В – второй шар красный,

С – третий шар белый.

Обозначим через D  событие, заключающееся в том, что шары вынуты в последовательности: черный, красный, белый. Событие D= A∙B∙C.

Так как события А, В, С зависимые, то

P (D) = P (A∙B∙C) =P (A) ∙P_A(B) ∙P_A∙B(C).

Вероятность того, что первоначально вынут черный шар, .

Вероятность извлечения из урны красного шара при условии, что первоначально был вынут черный шар, Р_A(В) = , так как после изъятия черного шара в урне осталось 14 шаров и из них – 5 красных. Вероятность извлечения из урны белого шара после того, как были извлечены черный и красный шары, P_A∙B(C)=  (после изъятия черного и красного шаров в урне осталось 13 шаров и из них – 4 белых).

Таким образом, P (D) = .

4

Пример 5. Из колоды, содержащей 36 карт, наудачу вынимают три карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна «дама».

 

Решение. Пусть событие А – среди трех карт окажется хотя бы одна дама. Введем в рассмотрение противоположное событие среди вынутых карт нет ни одной «дамы». Найдем Р( .

.

Тогда P (A) = 1 – P (.

 

Пример 6. Три стрелка производят по одному выстрелу в цель независимо друг от друга. Вероятности попадания в цель для каждого из них соответственно равны: 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что:

а) в цель попадет только третий стрелок;

б) в цель попадет только один стрелок;

в) в цель попадут только два стрелка;

г) в цель попадет хотя бы один стрелок.

Решение. Рассмотрим следующие события:

А₁ – первый стрелок попал в цель;

А₂ – второй стрелок попал в цель;

А₃ – третий стрелок попал в цель.

По условию P(A₁)=0,7; P(A₂)=0,8; P(A₃)=0,9.

а) Пусть событие А – в цель попал только третий стрелок, тогда . Так как события  независимые, тогда

.

 

б) Пусть событие B - в цель попал только один стрелок, тогда

Отсюда, используя теорему сложения для несовместных событий и теорему умножения для независимых событий, имеем:

=0,7 ∙ 0,2 ∙ 0,1 + 0,3 ∙ 0,8 ∙ 0,1 + 0,3 ∙ 0,2 ∙ 0,9 = 0,092.

 

в) Пусть событие С – в цель попадут только два стрелка. Тогда

,

откуда

P(C) = 0,7 ∙ 0,8 ∙ 0,1 + 0,7 ∙ 0,2 ∙ 0,9 + 0,3 ∙ 0,8 ∙ 0,9 = 0,398.

г) Пусть событие D - в цель попадет хотя бы один стрелок.

Рассмотрим противоположное событие  ни один из стрелков в цель не попадет, т.е. все стрелки промахнутся.

Так как , то

.