На установке «маятник уилберфорса»

ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ

ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

НА УСТАНОВКЕ «МАЯТНИК УИЛБЕРФОРСА»

1. Цель работы

 

Изучение законов динамики абсолютно твердого тела на примере колебаний маятника на пружине, опытное определение характеристик пружины и момента инерции подвешенного к пружине тела.

 

2. Подготовка к работе

Изучите теоретический материал по учебнику [I–3]: динамика материальной точки, упругие силы, вращение тела вокруг неподвижной оси, момент инерции, гармонические колебания, маятник. Изучите также разделы 3 и 6 методического описания и подготовьте ответы на вопросы раздела 4. Ознакомьтесь с конструкцией лабораторного стенда и принципом изме­рений по методическому описанию. Подготовьте конспект для допуска к лабораторной работе и потренируйтесь отвечать на вопросы обучающего и контрольного тестов на CD.

3. Краткая теория

 

Второй абстракцией (после модели материальной точки), с которой приходится иметь дело в механике, является модель абсолютно твердого тела (АТТ) – тела, деформациями которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Всякое движение АТТ можно разложить на два основных вида движения – поступательное и вращательное. В частности, можно сложное движение АТТ рассматривать как поступательное движение центра масс АТТ и вращательное движение АТТ вокруг оси, проходящей через центр масс. Сам центр масс АТТ движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе тела, под действием всех приложенных к телу сил

.                                    (1)

Динамика вращательного движения АТТ вокруг неподвижной оси (например, оси 0z, проходящей через его центр масс) описывается аналогичным уравнением, которое называется основным уравнением динамики вращательного движения АТТ. В проекции на ось вращения оно имеет вид

,                                     (2)

где I_z - момент инерции АТТ относительно оси вращения 0 z, β _z - угловое ускорение вращательного движения АТТ вокруг оси 0 z, N_{i,z ,внешн} - моменты внешних сил относительно оси вращения. Момент силы относительно оси характеризует способность силы вращать тело вокруг оси. Его можно определить по формуле

,                                               (3)

где R - плечо силы относительно оси 0z (рис. 1),  - составляющая силы, направленная по касательной к окружности радиуса R. Если  образует с направлением оси z правовинтовую систему, то N_z имеет положительный знак.

Сопоставив формулы и динамические величины вращательного и поступательного движения, приведенные в таблице 1, можно сделать вывод, что во всех случаях наблюдается соответствие между моментом инерции и массой. Поэтому можно сделать заключение, что момент инерции характеризует инертные свойства тела во вращательном движении, роль линейного ускорения выполняет угловое ускорение, роль силы – момент силы.

 

Таблица 1. Характеристики движения твердого тела

Поступательное движение	Вращательное движение
Масса (инерция) – m	Момент инерции - I
Сила -	Момент силы –
Проекция импульса –	Проекция момента импульса* –
Уравнение динамики (проекция)
Кинетическая энергия

* ω_z- угловая скорость вращательного движения АТТ вокруг оси 0z.

 

Величина момента инерции твердого тела зависит от массы и ее распределения относительно оси вращения. Задача расчета момента инерции сводится к суммированию в случае дискретного распределения массы или к интегрированию при непрерывном распределении массы в объеме V  по формулам

  или    ,                         (5)

где  - радиус вращения массы m_i вокруг оси 0 z, r - плотность материала, - радиус вращения элемента объема d V, имеющего массу . При расчете моментов инерции тел I_z относительно произвольной оси z используют теорему Штейнера

,                                        (6)

где I_0z - момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной заданной оси z, а - расстояние между этими осями. Из формул (5) следует, что момент инерции обладает свойством аддитивности – момент инерции АТТ, состоящего из нескольких частей, равен сумме моментов инерции этих частей. В большинстве случаев формула для расчета момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, имеет вид

,                                            (7)

где  - коэффициент, зависящий от формы тела, m - масса тела, R - радиус вращения точки тела, максимально удаленной от оси. Например, для обруча или кольца малой толщины k = 1, для диска (цилиндра) k =1/2, для стержня (относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину) k = 1/12.

 

4. Вопросы  для допуска к лабораторной работе

I. Какие силы называются упругими?

2. Дайте определения момента силы, момента импульса материальной точки, момента инерции тела.

3. Поясните роль момента инерции во вращательном движении.

4. Запишите формулу момента импульса твердого тела относительно оси.

5. Запишите уравнение динамики вращательного движения твердого тела в общем случае и применительно к лабораторной установке.

6. 0т каких параметров системы зависят периоды продольных и крутильных колебаний груза на пружине? Почему период продольных колебаний не изменяется при смещении гаек по спице? Каким образом можно регулировать период крутильных колебаний в лабораторной установке?

7. Объясните, каким образом экспериментально определяется крутильная жесткость пружины? В чем заключается физический смысл этого параметра и какова его размерность?

 

5. Литература

 

I. Савельев И.В. Курс общей физики. Кн. I. М.: Наука, 1998 г.

2. Савельев И.В. Курс физики. Т. I. М.: Наука, 1989 г.

3. Трофимова Т.И. Курс физики. М.: Высшая школа, 1990 г.

 

6. Методика проведения эксперимента и описание установки

 

Устройство лабораторной установки показано на рис. 1. Металлический цилиндр I подвешен к пружине 2, верхний конец которой закреплён ни стойке 3. Цилиндр снабжён спицей 4 с перемещаемыми по ней гайками 5. Пружина обладает продольной (k) и крутильной (G) жесткостью, поэтому цилиндр может совершать как продольные, так и крутильные колебания.

Если отклонить цилиндр в вертикальном направлении на величину y от положения равновесия без поворота вокруг своей оси, то на него начнет действовать возвращающая к равновесию сила

.

В этом случае уравнение динамики поступательного движения (см. (1))

,

можно привести к следующему уравнению гармонических колебаний

,

где                                           (8)

- частота продольных колебаний, m – полная масса цилиндра (включая спицу с гайками)

Если повернуть цилиндр вокруг своей оси на некоторый угол φ от положения равновесия без отклонения в вертикальном направлении, то на него начнет действовать возвращающий момент силы относительно этой оси:

.

В этом случае уравнение динамики вращательного движения (см. (2))

 можно привести к следующему уравнению гармонических колебаний

,

где                                                                                                        (9)

- частота крутильных колебаний, I - полный момент инерции цилиндра (включая спицу с гайками).

В соответствии с формулами (8) и (9) периоды продольных и крутильных колебаний равны:

,                                                 (10)

.                                                (11)

Величину T _кр можно регулировать, изменяя момент инерции тела I путем перемещения гаек 5 вдоль спицы 4, при этом период Т _пр не изменяется, так как масса тела m остаётся постоянной.

Учитывая аддитивность массы и аддитивность момента инерции, их можно записать в виде

m = m ₁ + m ₂ + 2 m ₀,                                         (12)

,                                               (13)

где m ₁ – масса цилиндра, m ₂– масса спицы, m ₀ - масса одной гайки,   I ₀ – момент инерции цилиндра со спицей без учета гаек, l – расстояние от оси цилиндра до центра гайки (предполагается, что гайки являются материальными точками и смещаются всегда симметрично относительно оси цилиндра).

Уравнение (10) можно использовать для определения продольной жесткости пружины:

.                                                  (14)

Подстановка (13) в (11) приводит к следующей линейной зависимости :

.                                 (15)

Это уравнение аналогично математической записи уравнения прямой линии . Его можно использовать для определения крутильной жесткости пружины и момента инерции  цилиндра со спицами. Для этого строится график зависимости . Угловой коэффициент полученной прямой

.

Рассчитав его из полученного графика (как отношение катетов вспомогательного прямоугольного треугольника с учетом размерностей) можно получить  крутильную жесткость пружины по формуле

.                                             (16)

Определив по графику величину В, можно рассчитать момент инерции цилиндра со спицей

.                                             (17)

 

7. Порядок выполнения работы

7.1. Определение периода продольных колебаний.

I. Скручивая гайки, установить их на спице симметрично на максимальном удалении от оси цилиндра l_max. Отклонив цилиндр в вертикальном направлении, без поворота вокруг его оси, на расстояние порядка 2 ÷ 3 см, привести систему в состояние продольных (вертикальных) колебаний. Измерить по секундомеру полное время n = 20 периодов колебаний t _п1. Записать значение t_п1 в таблицу 1. Повторить измерения еще 4 раза с записью результатов t _п2 ÷ t _п5 в таблицу 1.

2. Произвести аналогичные измерения (по одному разу) для двух различных симметричных положений гаек на спице (среднего l_ср и минимального l_min удаления от оси цилиндра). Величины t _п.сри t _п.мин также занести в таблицу I.

7.2. Измерение периода крутильных колебаний.

I. Установить гайки симметрично на спице на максимальных расстояниях от оси цилиндра. Повернув цилиндр на 20 ÷ 30° вокруг его оси, без смещения в вертикальном направлении, привести систему в состояние крутильных колебаний. Измерить по секундомеру полное время n = 20 периодов колебаний t_{к 1}. Записать положение гаек на спице l ₁ и полученное значение t_{к 1} в таблицу 2. При определении величины l ₁ необходимо учитывать размер гаек (h = 1 см).

2. Провести аналогичные однократные измерения для других симметричных положений гаек l _jна спице, всякий раз смещая их на 1см ближе к оси цилиндра (рекомендуется выбирать целочисленные значения для l _j). Занести полученные значения t_кj в таблицу 2. Примечание: при возникновении биений измерения t_кj следует проводить, не обращая внимания на медленные изменения амплитуды крутильных колебании.

 

8. Оформление отчёта

1. По данным таблицы 1 рассчитать периоды колебаний Т _пj, среднее значение ‹Т _п ›, разности ρ _i и среднеквадратичное отклонение σ _Тп. Полученные величины занести в таблицу 1.

2. Используя полученную величину для ‹Т _п ›, рассчитать продольную жесткость пружины. Результат записать в таблицу 1.

З. По данным таблицы 2, рассчитать периоды крутильных колебаний Т _к = t _к/ n, где n - измеренное число периодов, рассчитать также величины l ²_jи T _кj². Занести полученные значения в таблицу 2.

4. Построить графики зависимостей Т_к (l) и   Т_к ²(l ²). По угловому коэффициенту полученной на втором графике прямой, пользуясь формулой (16) и значением m₀, указанным на лабораторном стенде, определить крутильную жесткость пружины G. Полученное значение записать в таблицу 2.

5. Определив по графику величину В, рассчитать момент инерции цилиндра со спицей.

9. По полученным результатам эксперимента сделать выводы.

Таблица 1

l, м	t п, с	Т пj, с	‹ Т п›, с	ρ j= Т пj-‹ Т п›	σ Тп, с
lmax=
lср=
lmin=
k, Н/м

 

 

Таблица 2

l j, м
t кj, с
T кj, с
l 2j, м2
T кj2, с2
G, Н∙м
I 0, кг·м2