Напряжение в любой точке поперечного сечения

Кручение.

Напряжения и деформации при кручении.

Иметь представление о напряжении и деформациях при кручении, о моменте сопротивления при кручении.

Знать формулы для расчёта напряжений в точке поперечного сечения, закон Гука при кручении.

Напряжение при кручении.

Проводим на поверхности бруса сетку из продольных и поперечных линий и рассмотрим рисунок, образовавшийся на поверхности после деформации (рис. 27.1а). Поперечные окружности, оставаясь плоскими, поворачиваются на угол ϕ, продольные линии искривляются, прямоугольники превращаются в параллелограммы. Рассмотрим элемент бруса 1234 после деформации.

При выводе формул используем закон Гука при сдвиге и гипотезу плоских сечений и неискривления радиусов поперечных сечений.

При кручении возникает напряжное состояние, называемое <<чистый сдвиг >> (рис. 27. 1 б). При сдвиге на боковой поверхности элемента 1234 возникает касательные напряжения, равные по величине(рис.27.1в), элемент деформируется (рис.27.1г)

Материал подчиняется закону Гука. Касательное напряжение пропорционально углу сдвига.

Закон Гука при сдвиге Ϯ=G*ɿ,    

G-модуль упругости при сдвиге, Н/мм;

 ɿ - угол сдвига,рад.

 

Напряжение в любой точке поперечного сечения.

                Рассмотрим поперечное сечение круглого бруса.Под действием внешнего момента в каждой точки поперечного сечения возникают силы упругости dQ (рис.27.2.)

где  – касательное напряжение; dA – элементарная площадка.

В силу симметрии сечения силы dQ образуют пары. Элементарный момент силы dQ относительно центра круга  , где  расстояние от точки до центра круга.

Суммарный момент сил упругости получаем сложением (интенрированием) элементарных моментов:

После преобразования получим формулу для определения напряжений в точке поперечного сечения:

                                               , где

При  ; касательно напряжение при кручении пропорционально расстоянию от точки до центра сечения. Полученный интеграл  называется полярным моментом инерции сечения.  является геометрической характеристикой сечения при кручении. Она характеризует сопротивление сечения скручиванию.

Анализ полученной формулы для  показывает, что слои, расположены дальше от центра, испытывают большие напряжения.